Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57444 / 90404
↖ ↑ ↗
← S 56.225031°
W 22.225342°		 ← 169.80 m → S 56.225031°
W 22.222595°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
S 56.226558°
W 22.225342°		 ← 169.79 m →
28 829 m²		 S 56.226558°
W 22.222595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438266754150391 y=0.689731597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438266754150391 × 217)
    floor (0.438266754150391 × 131072)
    floor (57444.5)     		tx = 57444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689731597900391 × 217)
    floor (0.689731597900391 × 131072)
    floor (90404.5)     		ty = 90404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57444 / 90404 ti = "17/57444/90404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57444/90404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57444 ÷ 217
    57444 ÷ 131072     		x = 0.438262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90404 ÷ 217
    90404 ÷ 131072     		y = 0.689727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438262939453125 × 2 - 1) × π
    -0.12347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38790539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.37945556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19209481975156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38790539} λ = -0.38790539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19209481975156))-π/2
    2×atan(0.30358464239053)-π/2
    2×0.294742204007772-π/2
    0.589484408015545-1.57079632675     		φ = -0.98131192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38790539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.225342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98131192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.225031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57444 KachelY 90404 -0.38790539 -0.98131192 -22.225342 -56.225031
    Oben rechts KachelX + 1 57445 KachelY 90404 -0.38785745 -0.98131192 -22.222595 -56.225031
    Unten links KachelX 57444 KachelY + 1 90405 -0.38790539 -0.98133857 -22.225342 -56.226558
    Unten rechts KachelX + 1 57445 KachelY + 1 90405 -0.38785745 -0.98133857 -22.222595 -56.226558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98131192--0.98133857) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98131192--0.98133857) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38790539--0.38785745) × cos(-0.98131192) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555932521613287 × 6371000     		do = 169.796101803889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38790539--0.38785745) × cos(-0.98133857) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555910369205006 × 6371000     		du = 169.789335888197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98131192)-sin(-0.98133857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555932521613287-0.555910369205006)×R²
    abs(-0.38785745--0.38790539)×2.21524082809621e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21524082809621e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21524082809621e-05×40589641000000     		ar = 28828.6218253302m²