Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57443 / 90398
↖ ↑ ↗
← S 56.215869°
W 22.228088°		 ← 169.84 m → S 56.215869°
W 22.225342°		 →
↑
169.85 m
↓
↑
169.85 m
↓
S 56.217396°
W 22.228088°		 ← 169.83 m →
28 846 m²		 S 56.217396°
W 22.225342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438259124755859 y=0.689685821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438259124755859 × 217)
    floor (0.438259124755859 × 131072)
    floor (57443.5)     		tx = 57443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689685821533203 × 217)
    floor (0.689685821533203 × 131072)
    floor (90398.5)     		ty = 90398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57443 / 90398 ti = "17/57443/90398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57443/90398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57443 ÷ 217
    57443 ÷ 131072     		x = 0.438255310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90398 ÷ 217
    90398 ÷ 131072     		y = 0.689682006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438255310058594 × 2 - 1) × π
    -0.123489379882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38795333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689682006835938 × 2 - 1) × π
    -0.379364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19180719835384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38795333} λ = -0.38795333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19180719835384))-π/2
    2×atan(0.303671972388087)-π/2
    2×0.294822162609852-π/2
    0.589644325219704-1.57079632675     		φ = -0.98115200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38795333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.228088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98115200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.215869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57443 KachelY 90398 -0.38795333 -0.98115200 -22.228088 -56.215869
    Oben rechts KachelX + 1 57444 KachelY 90398 -0.38790539 -0.98115200 -22.225342 -56.215869
    Unten links KachelX 57443 KachelY + 1 90399 -0.38795333 -0.98117866 -22.228088 -56.217396
    Unten rechts KachelX + 1 57444 KachelY + 1 90399 -0.38790539 -0.98117866 -22.225342 -56.217396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98115200--0.98117866) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dl = 169.850859999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98115200--0.98117866) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dr = 169.850859999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38795333--0.38790539) × cos(-0.98115200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.55606544439364 × 6371000     		do = 169.836699842245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38795333--0.38790539) × cos(-0.98117866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.556043286043373 × 6371000     		du = 169.829932111718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98115200)-sin(-0.98117866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55606544439364-0.556043286043373)×R²
    abs(-0.38790539--0.38795333)×2.21583502671985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21583502671985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21583502671985e-05×40589641000000     		ar = 28846.3347770668m²