Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57410 / 90306
↖ ↑ ↗
← S 56.075102°
W 22.318726°		 ← 170.46 m → S 56.075102°
W 22.315979°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
S 56.076634°
W 22.318726°		 ← 170.45 m →
29 050 m²		 S 56.076634°
W 22.315979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438007354736328 y=0.688983917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438007354736328 × 217)
    floor (0.438007354736328 × 131072)
    floor (57410.5)     		tx = 57410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688983917236328 × 217)
    floor (0.688983917236328 × 131072)
    floor (90306.5)     		ty = 90306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57410 / 90306 ti = "17/57410/90306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57410/90306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57410 ÷ 217
    57410 ÷ 131072     		x = 0.438003540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90306 ÷ 217
    90306 ÷ 131072     		y = 0.688980102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438003540039062 × 2 - 1) × π
    -0.123992919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38953525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688980102539062 × 2 - 1) × π
    -0.377960205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18739700358879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38953525} λ = -0.38953525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18739700358879))-π/2
    2×atan(0.305014182459441)-π/2
    2×0.296050589844463-π/2
    0.592101179688926-1.57079632675     		φ = -0.97869515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38953525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.318726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97869515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.075102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57410 KachelY 90306 -0.38953525 -0.97869515 -22.318726 -56.075102
    Oben rechts KachelX + 1 57411 KachelY 90306 -0.38948731 -0.97869515 -22.315979 -56.075102
    Unten links KachelX 57410 KachelY + 1 90307 -0.38953525 -0.97872190 -22.318726 -56.076634
    Unten rechts KachelX + 1 57411 KachelY + 1 90307 -0.38948731 -0.97872190 -22.315979 -56.076634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97869515--0.97872190) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dl = 170.42425000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97869515--0.97872190) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dr = 170.42425000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38953525--0.38948731) × cos(-0.97869515) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558105746750024 × 6371000     		do = 170.459860699464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38953525--0.38948731) × cos(-0.97872190) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558083550207319 × 6371000     		du = 170.453081303983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97869515)-sin(-0.97872190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558105746750024-0.558083550207319)×R²
    abs(-0.38948731--0.38953525)×2.21965427049664e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21965427049664e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21965427049664e-05×40589641000000     		ar = 29049.9162299428m²