Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57376 / 88162
↖ ↑ ↗
← S 52.646397°
W 22.412109°		 ← 185.31 m → S 52.646397°
W 22.409363°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
S 52.648063°
W 22.412109°		 ← 185.30 m →
34 332 m²		 S 52.648063°
W 22.409363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437747955322266 y=0.672626495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437747955322266 × 217)
    floor (0.437747955322266 × 131072)
    floor (57376.5)     		tx = 57376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672626495361328 × 217)
    floor (0.672626495361328 × 131072)
    floor (88162.5)     		ty = 88162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57376 / 88162 ti = "17/57376/88162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57376/88162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57376 ÷ 217
    57376 ÷ 131072     		x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88162 ÷ 217
    88162 ÷ 131072     		y = 0.672622680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672622680664062 × 2 - 1) × π
    -0.345245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08462029080339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08462029080339))-π/2
    2×atan(0.338030114672635)-π/2
    2×0.325971684777969-π/2
    0.651943369555938-1.57079632675     		φ = -0.91885296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91885296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.646397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57376 KachelY 88162 -0.39116510 -0.91885296 -22.412109 -52.646397
    Oben rechts KachelX + 1 57377 KachelY 88162 -0.39111716 -0.91885296 -22.409363 -52.646397
    Unten links KachelX 57376 KachelY + 1 88163 -0.39116510 -0.91888204 -22.412109 -52.648063
    Unten rechts KachelX + 1 57377 KachelY + 1 88163 -0.39111716 -0.91888204 -22.409363 -52.648063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91885296--0.91888204) × R
    2.90799999999036e-05 × 6371000     		dl = 185.268679999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91885296--0.91888204) × R
    2.90799999999036e-05 × 6371000     		dr = 185.268679999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39111716) × cos(-0.91885296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606732344786617 × 6371000     		do = 185.311675388266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39111716) × cos(-0.91888204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606709228657875 × 6371000     		du = 185.304615127539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91885296)-sin(-0.91888204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606732344786617-0.606709228657875)×R²
    abs(-0.39111716--0.39116510)×2.31161287416182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31161287416182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31161287416182e-05×40589641000000     		ar = 34331.7954674582m²