Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57375 / 88155
↖ ↑ ↗
← S 52.634730°
W 22.414856°		 ← 185.36 m → S 52.634730°
W 22.412109°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
S 52.636397°
W 22.414856°		 ← 185.35 m →
34 353 m²		 S 52.636397°
W 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437740325927734 y=0.672573089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437740325927734 × 217)
    floor (0.437740325927734 × 131072)
    floor (57375.5)     		tx = 57375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672573089599609 × 217)
    floor (0.672573089599609 × 131072)
    floor (88155.5)     		ty = 88155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57375 / 88155 ti = "17/57375/88155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57375/88155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57375 ÷ 217
    57375 ÷ 131072     		x = 0.437736511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88155 ÷ 217
    88155 ÷ 131072     		y = 0.672569274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437736511230469 × 2 - 1) × π
    -0.124526977539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39121304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672569274902344 × 2 - 1) × π
    -0.345138549804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.08428473250605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39121304} λ = -0.39121304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08428473250605))-π/2
    2×atan(0.338143562515482)-π/2
    2×0.326073495391657-π/2
    0.652146990783314-1.57079632675     		φ = -0.91864934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39121304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.414856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91864934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.634730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57375 KachelY 88155 -0.39121304 -0.91864934 -22.414856 -52.634730
    Oben rechts KachelX + 1 57376 KachelY 88155 -0.39116510 -0.91864934 -22.412109 -52.634730
    Unten links KachelX 57375 KachelY + 1 88156 -0.39121304 -0.91867843 -22.414856 -52.636397
    Unten rechts KachelX + 1 57376 KachelY + 1 88156 -0.39116510 -0.91867843 -22.412109 -52.636397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91864934--0.91867843) × R
    2.90900000000649e-05 × 6371000     		dl = 185.332390000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91864934--0.91867843) × R
    2.90900000000649e-05 × 6371000     		dr = 185.332390000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39121304--0.39116510) × cos(-0.91864934) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606894191007405 × 6371000     		do = 185.361107390231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39121304--0.39116510) × cos(-0.91867843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606871070523697 × 6371000     		du = 185.354045799385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91864934)-sin(-0.91867843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606894191007405-0.606871070523697)×R²
    abs(-0.39116510--0.39121304)×2.31204837080057e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31204837080057e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31204837080057e-05×40589641000000     		ar = 34352.7626772972m²