Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57372 / 88166
↖ ↑ ↗
← S 52.653062°
W 22.423096°		 ← 185.28 m → S 52.653062°
W 22.420349°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
S 52.654728°
W 22.423096°		 ← 185.28 m →
34 327 m²		 S 52.654728°
W 22.420349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437717437744141 y=0.672657012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437717437744141 × 217)
    floor (0.437717437744141 × 131072)
    floor (57372.5)     		tx = 57372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672657012939453 × 217)
    floor (0.672657012939453 × 131072)
    floor (88166.5)     		ty = 88166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57372 / 88166 ti = "17/57372/88166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57372/88166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57372 ÷ 217
    57372 ÷ 131072     		x = 0.437713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88166 ÷ 217
    88166 ÷ 131072     		y = 0.672653198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.12457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39135685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672653198242188 × 2 - 1) × π
    -0.345306396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08481203840187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39135685} λ = -0.39135685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08481203840187))-π/2
    2×atan(0.337965304423736)-π/2
    2×0.325913519475803-π/2
    0.651827038951606-1.57079632675     		φ = -0.91896929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39135685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91896929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.653062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57372 KachelY 88166 -0.39135685 -0.91896929 -22.423096 -52.653062
    Oben rechts KachelX + 1 57373 KachelY 88166 -0.39130891 -0.91896929 -22.420349 -52.653062
    Unten links KachelX 57372 KachelY + 1 88167 -0.39135685 -0.91899837 -22.423096 -52.654728
    Unten rechts KachelX + 1 57373 KachelY + 1 88167 -0.39130891 -0.91899837 -22.420349 -52.654728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91896929--0.91899837) × R
    2.90799999999036e-05 × 6371000     		dl = 185.268679999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91896929--0.91899837) × R
    2.90799999999036e-05 × 6371000     		dr = 185.268679999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39135685--0.39130891) × cos(-0.91896929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606639869243592 × 6371000     		do = 185.283430977106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39135685--0.39130891) × cos(-0.91899837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606616751062546 × 6371000     		du = 185.276370089552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91896929)-sin(-0.91899837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606639869243592-0.606616751062546)×R²
    abs(-0.39130891--0.39135685)×2.31181810464998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31181810464998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31181810464998e-05×40589641000000     		ar = 34326.5626046314m²