Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57364 / 88316
↖ ↑ ↗
← S 52.902276°
W 22.445068°		 ← 184.19 m → S 52.902276°
W 22.442322°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
S 52.903933°
W 22.445068°		 ← 184.18 m →
33 924 m²		 S 52.903933°
W 22.442322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437656402587891 y=0.673801422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437656402587891 × 217)
    floor (0.437656402587891 × 131072)
    floor (57364.5)     		tx = 57364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673801422119141 × 217)
    floor (0.673801422119141 × 131072)
    floor (88316.5)     		ty = 88316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57364 / 88316 ti = "17/57364/88316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57364/88316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57364 ÷ 217
    57364 ÷ 131072     		x = 0.437652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88316 ÷ 217
    88316 ÷ 131072     		y = 0.673797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.12469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39174034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.34759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09200257334488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39174034} λ = -0.39174034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09200257334488))-π/2
    2×atan(0.335543869233034)-π/2
    2×0.323738715614516-π/2
    0.647477431229032-1.57079632675     		φ = -0.92331890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39174034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.445068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92331890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.902276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57364 KachelY 88316 -0.39174034 -0.92331890 -22.445068 -52.902276
    Oben rechts KachelX + 1 57365 KachelY 88316 -0.39169241 -0.92331890 -22.442322 -52.902276
    Unten links KachelX 57364 KachelY + 1 88317 -0.39174034 -0.92334781 -22.445068 -52.903933
    Unten rechts KachelX + 1 57365 KachelY + 1 88317 -0.39169241 -0.92334781 -22.442322 -52.903933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92331890--0.92334781) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92331890--0.92334781) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39174034--0.39169241) × cos(-0.92331890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603176302693427 × 6371000     		do = 184.187140238472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39174034--0.39169241) × cos(-0.92334781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603153243597236 × 6371000     		du = 184.180098866049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92331890)-sin(-0.92334781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603176302693427-0.603153243597236)×R²
    abs(-0.39169241--0.39174034)×2.3059096190825e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3059096190825e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3059096190825e-05×40589641000000     		ar = 33923.9723215966m²