Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57343 / 87726
↖ ↑ ↗
← S 51.913780°
W 22.502747°		 ← 188.40 m → S 51.913780°
W 22.500000°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
S 51.915473°
W 22.502747°		 ← 188.39 m →
35 480 m²		 S 51.915473°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437496185302734 y=0.669300079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437496185302734 × 217)
    floor (0.437496185302734 × 131072)
    floor (57343.5)     		tx = 57343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669300079345703 × 217)
    floor (0.669300079345703 × 131072)
    floor (87726.5)     		ty = 87726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57343 / 87726 ti = "17/57343/87726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57343/87726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57343 ÷ 217
    57343 ÷ 131072     		x = 0.437492370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87726 ÷ 217
    87726 ÷ 131072     		y = 0.669296264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437492370605469 × 2 - 1) × π
    -0.125015258789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39274702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669296264648438 × 2 - 1) × π
    -0.338592529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06371980256905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39274702} λ = -0.39274702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06371980256905))-π/2
    2×atan(0.345169457090039)-π/2
    2×0.33236497563526-π/2
    0.66472995127052-1.57079632675     		φ = -0.90606638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39274702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.502747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90606638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.913780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57343 KachelY 87726 -0.39274702 -0.90606638 -22.502747 -51.913780
    Oben rechts KachelX + 1 57344 KachelY 87726 -0.39269908 -0.90606638 -22.500000 -51.913780
    Unten links KachelX 57343 KachelY + 1 87727 -0.39274702 -0.90609594 -22.502747 -51.915473
    Unten rechts KachelX + 1 57344 KachelY + 1 87727 -0.39269908 -0.90609594 -22.500000 -51.915473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90606638--0.90609594) × R
    2.95600000000951e-05 × 6371000     		dl = 188.326760000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90606638--0.90609594) × R
    2.95600000000951e-05 × 6371000     		dr = 188.326760000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39274702--0.39269908) × cos(-0.90606638) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.616846600830026 × 6371000     		do = 188.40082952509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39274702--0.39269908) × cos(-0.90609594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.616823334375368 × 6371000     		du = 188.393723350959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90606638)-sin(-0.90609594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616846600830026-0.616823334375368)×R²
    abs(-0.39269908--0.39274702)×2.32664546578887e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32664546578887e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32664546578887e-05×40589641000000     		ar = 35480.2486671928m²