Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57341 / 88313
↖ ↑ ↗
← S 52.897306°
W 22.508240°		 ← 184.21 m → S 52.897306°
W 22.505493°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
S 52.898962°
W 22.508240°		 ← 184.20 m →
33 928 m²		 S 52.898962°
W 22.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437480926513672 y=0.673778533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437480926513672 × 217)
    floor (0.437480926513672 × 131072)
    floor (57341.5)     		tx = 57341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673778533935547 × 217)
    floor (0.673778533935547 × 131072)
    floor (88313.5)     		ty = 88313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57341 / 88313 ti = "17/57341/88313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57341/88313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57341 ÷ 217
    57341 ÷ 131072     		x = 0.437477111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88313 ÷ 217
    88313 ÷ 131072     		y = 0.673774719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437477111816406 × 2 - 1) × π
    -0.125045776367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39284289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673774719238281 × 2 - 1) × π
    -0.347549438476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.09185876264602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39284289} λ = -0.39284289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09185876264602))-π/2
    2×atan(0.335592127501311)-π/2
    2×0.323782089705084-π/2
    0.647564179410169-1.57079632675     		φ = -0.92323215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39284289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.508240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92323215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.897306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57341 KachelY 88313 -0.39284289 -0.92323215 -22.508240 -52.897306
    Oben rechts KachelX + 1 57342 KachelY 88313 -0.39279496 -0.92323215 -22.505493 -52.897306
    Unten links KachelX 57341 KachelY + 1 88314 -0.39284289 -0.92326106 -22.508240 -52.898962
    Unten rechts KachelX + 1 57342 KachelY + 1 88314 -0.39279496 -0.92326106 -22.505493 -52.898962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92323215--0.92326106) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92323215--0.92326106) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39284289--0.39279496) × cos(-0.92323215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603245492908269 × 6371000     		do = 184.208268302719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39284289--0.39279496) × cos(-0.92326106) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603222435324867 × 6371000     		du = 184.201227392245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92323215)-sin(-0.92326106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603245492908269-0.603222435324867)×R²
    abs(-0.39279496--0.39284289)×2.30575834014868e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30575834014868e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30575834014868e-05×40589641000000     		ar = 33927.8638496364m²