Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57333 / 88310
↖ ↑ ↗
← S 52.892335°
W 22.530213°		 ← 184.27 m → S 52.892335°
W 22.527466°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
S 52.893992°
W 22.530213°		 ← 184.26 m →
33 951 m²		 S 52.893992°
W 22.527466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437419891357422 y=0.673755645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437419891357422 × 217)
    floor (0.437419891357422 × 131072)
    floor (57333.5)     		tx = 57333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673755645751953 × 217)
    floor (0.673755645751953 × 131072)
    floor (88310.5)     		ty = 88310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57333 / 88310 ti = "17/57333/88310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57333/88310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57333 ÷ 217
    57333 ÷ 131072     		x = 0.437416076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88310 ÷ 217
    88310 ÷ 131072     		y = 0.673751831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437416076660156 × 2 - 1) × π
    -0.125167846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39322639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673751831054688 × 2 - 1) × π
    -0.347503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09171495194716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39322639} λ = -0.39322639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09171495194716))-π/2
    2×atan(0.335640392710143)-π/2
    2×0.323825468770817-π/2
    0.647650937541634-1.57079632675     		φ = -0.92314539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39322639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.530213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92314539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.892335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57333 KachelY 88310 -0.39322639 -0.92314539 -22.530213 -52.892335
    Oben rechts KachelX + 1 57334 KachelY 88310 -0.39317845 -0.92314539 -22.527466 -52.892335
    Unten links KachelX 57333 KachelY + 1 88311 -0.39322639 -0.92317431 -22.530213 -52.893992
    Unten rechts KachelX + 1 57334 KachelY + 1 88311 -0.39317845 -0.92317431 -22.527466 -52.893992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92314539--0.92317431) × R
    2.89200000000989e-05 × 6371000     		dl = 184.24932000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92314539--0.92317431) × R
    2.89200000000989e-05 × 6371000     		dr = 184.24932000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39322639--0.39317845) × cos(-0.92314539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603314686558381 × 6371000     		do = 184.267834594841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39322639--0.39317845) × cos(-0.92317431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60329162251291 × 6371000     		du = 184.260790241685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92314539)-sin(-0.92317431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603314686558381-0.60329162251291)×R²
    abs(-0.39317845--0.39322639)×2.30640454711439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30640454711439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30640454711439e-05×40589641000000     		ar = 33950.5742657821m²