Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57330 / 90514
↖ ↑ ↗
← S 56.392624°
W 22.538452°		 ← 169.05 m → S 56.392624°
W 22.535705°		 →
↑
169.09 m
↓
↑
169.09 m
↓
S 56.394144°
W 22.538452°		 ← 169.05 m →
28 584 m²		 S 56.394144°
W 22.535705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437397003173828 y=0.690570831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437397003173828 × 217)
    floor (0.437397003173828 × 131072)
    floor (57330.5)     		tx = 57330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690570831298828 × 217)
    floor (0.690570831298828 × 131072)
    floor (90514.5)     		ty = 90514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57330 / 90514 ti = "17/57330/90514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57330/90514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57330 ÷ 217
    57330 ÷ 131072     		x = 0.437393188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90514 ÷ 217
    90514 ÷ 131072     		y = 0.690567016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437393188476562 × 2 - 1) × π
    -0.125213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39337020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690567016601562 × 2 - 1) × π
    -0.381134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19736787870976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39337020} λ = -0.39337020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19736787870976))-π/2
    2×atan(0.30198803587204)-π/2
    2×0.293279681157483-π/2
    0.586559362314966-1.57079632675     		φ = -0.98423696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39337020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98423696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.392624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57330 KachelY 90514 -0.39337020 -0.98423696 -22.538452 -56.392624
    Oben rechts KachelX + 1 57331 KachelY 90514 -0.39332226 -0.98423696 -22.535705 -56.392624
    Unten links KachelX 57330 KachelY + 1 90515 -0.39337020 -0.98426350 -22.538452 -56.394144
    Unten rechts KachelX + 1 57331 KachelY + 1 90515 -0.39332226 -0.98426350 -22.535705 -56.394144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98423696--0.98426350) × R
    2.65399999999083e-05 × 6371000     		dl = 169.086339999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98423696--0.98426350) × R
    2.65399999999083e-05 × 6371000     		dr = 169.086339999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39337020--0.39332226) × cos(-0.98423696) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553498773375866 × 6371000     		do = 169.052772447501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39337020--0.39332226) × cos(-0.98426350) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553476669342167 × 6371000     		du = 169.046021306652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98423696)-sin(-0.98426350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553498773375866-0.553476669342167)×R²
    abs(-0.39332226--0.39337020)×2.21040336987333e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21040336987333e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21040336987333e-05×40589641000000     		ar = 28583.9437988841m²