Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57320 / 87688
↖ ↑ ↗
← S 51.849353°
W 22.565918°		 ← 188.67 m → S 51.849353°
W 22.563171°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
S 51.851049°
W 22.565918°		 ← 188.66 m →
35 591 m²		 S 51.851049°
W 22.563171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437320709228516 y=0.669010162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437320709228516 × 217)
    floor (0.437320709228516 × 131072)
    floor (57320.5)     		tx = 57320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669010162353516 × 217)
    floor (0.669010162353516 × 131072)
    floor (87688.5)     		ty = 87688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57320 / 87688 ti = "17/57320/87688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57320/87688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57320 ÷ 217
    57320 ÷ 131072     		x = 0.43731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87688 ÷ 217
    87688 ÷ 131072     		y = 0.66900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39384957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.3380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06189820038348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39384957} λ = -0.39384957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06189820038348))-π/2
    2×atan(0.345798791551956)-π/2
    2×0.332927203029477-π/2
    0.665854406058954-1.57079632675     		φ = -0.90494192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39384957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.565918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90494192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.849353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57320 KachelY 87688 -0.39384957 -0.90494192 -22.565918 -51.849353
    Oben rechts KachelX + 1 57321 KachelY 87688 -0.39380163 -0.90494192 -22.563171 -51.849353
    Unten links KachelX 57320 KachelY + 1 87689 -0.39384957 -0.90497153 -22.565918 -51.851049
    Unten rechts KachelX + 1 57321 KachelY + 1 87689 -0.39380163 -0.90497153 -22.563171 -51.851049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90494192--0.90497153) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dl = 188.645310000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90494192--0.90497153) × R
    2.96100000000132e-05 × 6371000     		dr = 188.645310000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39384957--0.39380163) × cos(-0.90494192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61773125446456 × 6371000     		do = 188.671025515843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39384957--0.39380163) × cos(-0.90497153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61770796920723 × 6371000     		du = 188.663913598892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90494192)-sin(-0.90497153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61773125446456-0.61770796920723)×R²
    abs(-0.39380163--0.39384957)×2.32852573300857e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32852573300857e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32852573300857e-05×40589641000000     		ar = 35591.2332842997m²