Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57319 / 88609
↖ ↑ ↗
← S 53.384967°
W 22.568664°		 ← 182.13 m → S 53.384967°
W 22.565918°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 53.386605°
W 22.568664°		 ← 182.12 m →
33 174 m²		 S 53.386605°
W 22.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437313079833984 y=0.676036834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437313079833984 × 217)
    floor (0.437313079833984 × 131072)
    floor (57319.5)     		tx = 57319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676036834716797 × 217)
    floor (0.676036834716797 × 131072)
    floor (88609.5)     		ty = 88609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57319 / 88609 ti = "17/57319/88609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57319/88609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57319 ÷ 217
    57319 ÷ 131072     		x = 0.437309265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88609 ÷ 217
    88609 ÷ 131072     		y = 0.676033020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437309265136719 × 2 - 1) × π
    -0.125381469726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39389750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676033020019531 × 2 - 1) × π
    -0.352066040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.10604808493356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39389750} λ = -0.39389750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10604808493356))-π/2
    2×atan(0.330863926957537)-π/2
    2×0.31952644465379-π/2
    0.63905288930758-1.57079632675     		φ = -0.93174344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39389750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.568664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93174344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.384967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57319 KachelY 88609 -0.39389750 -0.93174344 -22.568664 -53.384967
    Oben rechts KachelX + 1 57320 KachelY 88609 -0.39384957 -0.93174344 -22.565918 -53.384967
    Unten links KachelX 57319 KachelY + 1 88610 -0.39389750 -0.93177203 -22.568664 -53.386605
    Unten rechts KachelX + 1 57320 KachelY + 1 88610 -0.39384957 -0.93177203 -22.565918 -53.386605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93174344--0.93177203) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93174344--0.93177203) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39389750--0.39384957) × cos(-0.93174344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596435498142787 × 6371000     		do = 182.128754477054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39389750--0.39384957) × cos(-0.93177203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596412549820762 × 6371000     		du = 182.121746930856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93174344)-sin(-0.93177203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596435498142787-0.596412549820762)×R²
    abs(-0.39384957--0.39389750)×2.29483220248738e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29483220248738e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29483220248738e-05×40589641000000     		ar = 33173.5480085156m²