Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57315 / 88614
↖ ↑ ↗
← S 53.393157°
W 22.579651°		 ← 182.13 m → S 53.393157°
W 22.576904°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 53.394795°
W 22.579651°		 ← 182.12 m →
33 174 m²		 S 53.394795°
W 22.576904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437282562255859 y=0.676074981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437282562255859 × 217)
    floor (0.437282562255859 × 131072)
    floor (57315.5)     		tx = 57315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676074981689453 × 217)
    floor (0.676074981689453 × 131072)
    floor (88614.5)     		ty = 88614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57315 / 88614 ti = "17/57315/88614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57315/88614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57315 ÷ 217
    57315 ÷ 131072     		x = 0.437278747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88614 ÷ 217
    88614 ÷ 131072     		y = 0.676071166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437278747558594 × 2 - 1) × π
    -0.125442504882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39408925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676071166992188 × 2 - 1) × π
    -0.352142333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10628776943166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39408925} λ = -0.39408925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10628776943166))-π/2
    2×atan(0.33078463350635)-π/2
    2×0.319454973357518-π/2
    0.638909946715037-1.57079632675     		φ = -0.93188638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39408925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.579651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93188638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.393157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57315 KachelY 88614 -0.39408925 -0.93188638 -22.579651 -53.393157
    Oben rechts KachelX + 1 57316 KachelY 88614 -0.39404131 -0.93188638 -22.576904 -53.393157
    Unten links KachelX 57315 KachelY + 1 88615 -0.39408925 -0.93191497 -22.579651 -53.394795
    Unten rechts KachelX + 1 57316 KachelY + 1 88615 -0.39404131 -0.93191497 -22.576904 -53.394795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93188638--0.93191497) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93188638--0.93191497) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39408925--0.39404131) × cos(-0.93188638) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596320759685308 × 6371000     		do = 182.131709304339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39408925--0.39404131) × cos(-0.93191497) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596297808926138 × 6371000     		du = 182.124699551736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93188638)-sin(-0.93191497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596320759685308-0.596297808926138)×R²
    abs(-0.39404131--0.39408925)×2.29507591694711e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29507591694711e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29507591694711e-05×40589641000000     		ar = 33174.0860200707m²