Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57313 / 88609
↖ ↑ ↗
← S 53.384967°
W 22.585144°		 ← 182.17 m → S 53.384967°
W 22.582398°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 53.386605°
W 22.585144°		 ← 182.16 m →
33 180 m²		 S 53.386605°
W 22.582398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437267303466797 y=0.676036834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437267303466797 × 217)
    floor (0.437267303466797 × 131072)
    floor (57313.5)     		tx = 57313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676036834716797 × 217)
    floor (0.676036834716797 × 131072)
    floor (88609.5)     		ty = 88609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57313 / 88609 ti = "17/57313/88609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57313/88609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57313 ÷ 217
    57313 ÷ 131072     		x = 0.437263488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88609 ÷ 217
    88609 ÷ 131072     		y = 0.676033020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437263488769531 × 2 - 1) × π
    -0.125473022460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.39418513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676033020019531 × 2 - 1) × π
    -0.352066040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.10604808493356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39418513} λ = -0.39418513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10604808493356))-π/2
    2×atan(0.330863926957537)-π/2
    2×0.31952644465379-π/2
    0.63905288930758-1.57079632675     		φ = -0.93174344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39418513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.585144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93174344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.384967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57313 KachelY 88609 -0.39418513 -0.93174344 -22.585144 -53.384967
    Oben rechts KachelX + 1 57314 KachelY 88609 -0.39413719 -0.93174344 -22.582398 -53.384967
    Unten links KachelX 57313 KachelY + 1 88610 -0.39418513 -0.93177203 -22.585144 -53.386605
    Unten rechts KachelX + 1 57314 KachelY + 1 88610 -0.39413719 -0.93177203 -22.582398 -53.386605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93174344--0.93177203) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93174344--0.93177203) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39418513--0.39413719) × cos(-0.93174344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596435498142787 × 6371000     		do = 182.16675338241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39418513--0.39413719) × cos(-0.93177203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596412549820762 × 6371000     		du = 182.159744374174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93174344)-sin(-0.93177203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596435498142787-0.596412549820762)×R²
    abs(-0.39413719--0.39418513)×2.29483220248738e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29483220248738e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29483220248738e-05×40589641000000     		ar = 33180.4692577972m²