Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57309 / 90652
↖ ↑ ↗
← S 56.601838°
W 22.596130°		 ← 168.09 m → S 56.601838°
W 22.593384°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
S 56.603350°
W 22.596130°		 ← 168.08 m →
28 260 m²		 S 56.603350°
W 22.593384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437236785888672 y=0.691623687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437236785888672 × 217)
    floor (0.437236785888672 × 131072)
    floor (57309.5)     		tx = 57309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691623687744141 × 217)
    floor (0.691623687744141 × 131072)
    floor (90652.5)     		ty = 90652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57309 / 90652 ti = "17/57309/90652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57309/90652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57309 ÷ 217
    57309 ÷ 131072     		x = 0.437232971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90652 ÷ 217
    90652 ÷ 131072     		y = 0.691619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437232971191406 × 2 - 1) × π
    -0.125534057617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39437687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.38323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20398317085733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39437687} λ = -0.39437687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20398317085733))-π/2
    2×atan(0.299996890056701)-π/2
    2×0.291453941316435-π/2
    0.582907882632871-1.57079632675     		φ = -0.98788844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39437687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.596130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98788844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.601838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57309 KachelY 90652 -0.39437687 -0.98788844 -22.596130 -56.601838
    Oben rechts KachelX + 1 57310 KachelY 90652 -0.39432894 -0.98788844 -22.593384 -56.601838
    Unten links KachelX 57309 KachelY + 1 90653 -0.39437687 -0.98791483 -22.596130 -56.603350
    Unten rechts KachelX + 1 57310 KachelY + 1 90653 -0.39432894 -0.98791483 -22.593384 -56.603350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98788844--0.98791483) × R
    2.63900000000428e-05 × 6371000     		dl = 168.130690000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98788844--0.98791483) × R
    2.63900000000428e-05 × 6371000     		dr = 168.130690000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39437687--0.39432894) × cos(-0.98788844) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.550453955067783 × 6371000     		do = 168.087737140935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39437687--0.39432894) × cos(-0.98791483) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.550431922774927 × 6371000     		du = 168.081009315263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98788844)-sin(-0.98791483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550453955067783-0.550431922774927)×R²
    abs(-0.39432894--0.39437687)×2.20322928556893e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20322928556893e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20322928556893e-05×40589641000000     		ar = 28260.1416507045m²