Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57305 / 88663
↖ ↑ ↗
← S 53.473335°
W 22.607117°		 ← 181.79 m → S 53.473335°
W 22.604370°		 →
↑
181.76 m
↓
↑
181.76 m
↓
S 53.474970°
W 22.607117°		 ← 181.78 m →
33 042 m²		 S 53.474970°
W 22.604370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437206268310547 y=0.676448822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437206268310547 × 217)
    floor (0.437206268310547 × 131072)
    floor (57305.5)     		tx = 57305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676448822021484 × 217)
    floor (0.676448822021484 × 131072)
    floor (88663.5)     		ty = 88663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57305 / 88663 ti = "17/57305/88663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57305/88663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57305 ÷ 217
    57305 ÷ 131072     		x = 0.437202453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88663 ÷ 217
    88663 ÷ 131072     		y = 0.676445007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437202453613281 × 2 - 1) × π
    -0.125595092773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39456862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676445007324219 × 2 - 1) × π
    -0.352890014648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.10863667751304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39456862} λ = -0.39456862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10863667751304))-π/2
    2×atan(0.330008562623916)-π/2
    2×0.31875528212873-π/2
    0.637510564257461-1.57079632675     		φ = -0.93328576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39456862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.607117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93328576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.473335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57305 KachelY 88663 -0.39456862 -0.93328576 -22.607117 -53.473335
    Oben rechts KachelX + 1 57306 KachelY 88663 -0.39452068 -0.93328576 -22.604370 -53.473335
    Unten links KachelX 57305 KachelY + 1 88664 -0.39456862 -0.93331429 -22.607117 -53.474970
    Unten rechts KachelX + 1 57306 KachelY + 1 88664 -0.39452068 -0.93331429 -22.604370 -53.474970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93328576--0.93331429) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dl = 181.764630000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93328576--0.93331429) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dr = 181.764630000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39456862--0.39452068) × cos(-0.93328576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595196829119424 × 6371000     		do = 181.788431979334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39456862--0.39452068) × cos(-0.93331429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595173902741245 × 6371000     		du = 181.781429673314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93328576)-sin(-0.93331429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595196829119424-0.595173902741245)×R²
    abs(-0.39452068--0.39456862)×2.29263781783562e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29263781783562e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29263781783562e-05×40589641000000     		ar = 33042.0706935801m²