Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57298 / 88659
↖ ↑ ↗
← S 53.466796°
W 22.626343°		 ← 181.82 m → S 53.466796°
W 22.623596°		 →
↑
181.76 m
↓
↑
181.76 m
↓
S 53.468431°
W 22.626343°		 ← 181.81 m →
33 047 m²		 S 53.468431°
W 22.623596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437152862548828 y=0.676418304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437152862548828 × 217)
    floor (0.437152862548828 × 131072)
    floor (57298.5)     		tx = 57298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676418304443359 × 217)
    floor (0.676418304443359 × 131072)
    floor (88659.5)     		ty = 88659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57298 / 88659 ti = "17/57298/88659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57298/88659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57298 ÷ 217
    57298 ÷ 131072     		x = 0.437149047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88659 ÷ 217
    88659 ÷ 131072     		y = 0.676414489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437149047851562 × 2 - 1) × π
    -0.125701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39490418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676414489746094 × 2 - 1) × π
    -0.352828979492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.10844492991456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39490418} λ = -0.39490418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10844492991456))-π/2
    2×atan(0.3300718470404)-π/2
    2×0.318812350306263-π/2
    0.637624700612526-1.57079632675     		φ = -0.93317163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39490418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.626343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93317163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.466796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57298 KachelY 88659 -0.39490418 -0.93317163 -22.626343 -53.466796
    Oben rechts KachelX + 1 57299 KachelY 88659 -0.39485624 -0.93317163 -22.623596 -53.466796
    Unten links KachelX 57298 KachelY + 1 88660 -0.39490418 -0.93320016 -22.626343 -53.468431
    Unten rechts KachelX + 1 57299 KachelY + 1 88660 -0.39485624 -0.93320016 -22.623596 -53.468431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93317163--0.93320016) × R
    2.85299999999156e-05 × 6371000     		dl = 181.764629999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93317163--0.93320016) × R
    2.85299999999156e-05 × 6371000     		dr = 181.764629999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39490418--0.39485624) × cos(-0.93317163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595288537822401 × 6371000     		do = 181.816442177806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39490418--0.39485624) × cos(-0.93320016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595265613382372 × 6371000     		du = 181.809440463746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93317163)-sin(-0.93320016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595288537822401-0.595265613382372)×R²
    abs(-0.39485624--0.39490418)×2.29244400287154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29244400287154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29244400287154e-05×40589641000000     		ar = 33047.162010486m²