Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57272 / 88345
↖ ↑ ↗
← S 52.950293°
W 22.697754°		 ← 184.02 m → S 52.950293°
W 22.695007°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
S 52.951948°
W 22.697754°		 ← 184.01 m →
33 858 m²		 S 52.951948°
W 22.695007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436954498291016 y=0.674022674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436954498291016 × 217)
    floor (0.436954498291016 × 131072)
    floor (57272.5)     		tx = 57272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674022674560547 × 217)
    floor (0.674022674560547 × 131072)
    floor (88345.5)     		ty = 88345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57272 / 88345 ti = "17/57272/88345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57272/88345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57272 ÷ 217
    57272 ÷ 131072     		x = 0.43695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88345 ÷ 217
    88345 ÷ 131072     		y = 0.674018859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39615054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674018859863281 × 2 - 1) × π
    -0.348037719726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.09339274343386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39615054} λ = -0.39615054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09339274343386))-π/2
    2×atan(0.335077730263782)-π/2
    2×0.323319689187364-π/2
    0.646639378374728-1.57079632675     		φ = -0.92415695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39615054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.697754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92415695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.950293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57272 KachelY 88345 -0.39615054 -0.92415695 -22.697754 -52.950293
    Oben rechts KachelX + 1 57273 KachelY 88345 -0.39610260 -0.92415695 -22.695007 -52.950293
    Unten links KachelX 57272 KachelY + 1 88346 -0.39615054 -0.92418583 -22.697754 -52.951948
    Unten rechts KachelX + 1 57273 KachelY + 1 88346 -0.39610260 -0.92418583 -22.695007 -52.951948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92415695--0.92418583) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dl = 183.994480000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92415695--0.92418583) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dr = 183.994480000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39615054--0.39610260) × cos(-0.92415695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602507655664843 × 6371000     		do = 184.021346586979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39615054--0.39610260) × cos(-0.92418583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602484605907175 × 6371000     		du = 184.014306597687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92415695)-sin(-0.92418583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602507655664843-0.602484605907175)×R²
    abs(-0.39610260--0.39615054)×2.30497576678701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30497576678701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30497576678701e-05×40589641000000     		ar = 33858.2643170108m²