Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57257 / 88445
↖ ↑ ↗
← S 53.115460°
W 22.738953°		 ← 183.28 m → S 53.115460°
W 22.736206°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
S 53.117108°
W 22.738953°		 ← 183.27 m →
33 593 m²		 S 53.117108°
W 22.736206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436840057373047 y=0.674785614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436840057373047 × 217)
    floor (0.436840057373047 × 131072)
    floor (57257.5)     		tx = 57257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674785614013672 × 217)
    floor (0.674785614013672 × 131072)
    floor (88445.5)     		ty = 88445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57257 / 88445 ti = "17/57257/88445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57257/88445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57257 ÷ 217
    57257 ÷ 131072     		x = 0.436836242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88445 ÷ 217
    88445 ÷ 131072     		y = 0.674781799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436836242675781 × 2 - 1) × π
    -0.126327514648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39686959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674781799316406 × 2 - 1) × π
    -0.349563598632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.09818643339587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39686959} λ = -0.39686959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09818643339587))-π/2
    2×atan(0.333475315320491)-π/2
    2×0.321878332741722-π/2
    0.643756665483443-1.57079632675     		φ = -0.92703966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39686959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.738953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92703966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.115460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57257 KachelY 88445 -0.39686959 -0.92703966 -22.738953 -53.115460
    Oben rechts KachelX + 1 57258 KachelY 88445 -0.39682166 -0.92703966 -22.736206 -53.115460
    Unten links KachelX 57257 KachelY + 1 88446 -0.39686959 -0.92706843 -22.738953 -53.117108
    Unten rechts KachelX + 1 57258 KachelY + 1 88446 -0.39682166 -0.92706843 -22.736206 -53.117108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92703966--0.92706843) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92703966--0.92706843) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39686959--0.39682166) × cos(-0.92703966) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.600204426806097 × 6371000     		do = 183.279642184396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39686959--0.39682166) × cos(-0.92706843) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.600181414969895 × 6371000     		du = 183.27261524338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92703966)-sin(-0.92706843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600204426806097-0.600181414969895)×R²
    abs(-0.39682166--0.39686959)×2.30118362014586e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30118362014586e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30118362014586e-05×40589641000000     		ar = 33593.3542577074m²