Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57254 / 90555
↖ ↑ ↗
← S 56.454903°
W 22.747192°		 ← 168.74 m → S 56.454903°
W 22.744446°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
S 56.456420°
W 22.747192°		 ← 168.73 m →
28 477 m²		 S 56.456420°
W 22.744446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436817169189453 y=0.690883636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436817169189453 × 217)
    floor (0.436817169189453 × 131072)
    floor (57254.5)     		tx = 57254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690883636474609 × 217)
    floor (0.690883636474609 × 131072)
    floor (90555.5)     		ty = 90555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57254 / 90555 ti = "17/57254/90555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57254/90555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57254 ÷ 217
    57254 ÷ 131072     		x = 0.436813354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90555 ÷ 217
    90555 ÷ 131072     		y = 0.690879821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436813354492188 × 2 - 1) × π
    -0.126373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39701340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690879821777344 × 2 - 1) × π
    -0.381759643554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.19933329159419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39701340} λ = -0.39701340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19933329159419))-π/2
    2×atan(0.301395087580374)-π/2
    2×0.292736199390351-π/2
    0.585472398780702-1.57079632675     		φ = -0.98532393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39701340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.747192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98532393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.454903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57254 KachelY 90555 -0.39701340 -0.98532393 -22.747192 -56.454903
    Oben rechts KachelX + 1 57255 KachelY 90555 -0.39696547 -0.98532393 -22.744446 -56.454903
    Unten links KachelX 57254 KachelY + 1 90556 -0.39701340 -0.98535042 -22.747192 -56.456420
    Unten rechts KachelX + 1 57255 KachelY + 1 90556 -0.39696547 -0.98535042 -22.744446 -56.456420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98532393--0.98535042) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98532393--0.98535042) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39701340--0.39696547) × cos(-0.98532393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.552593163618763 × 6371000     		do = 168.740970206851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39701340--0.39696547) × cos(-0.98535042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.552571085304299 × 6371000     		du = 168.734228327927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98532393)-sin(-0.98535042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552593163618763-0.552571085304299)×R²
    abs(-0.39696547--0.39701340)×2.20783144637693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20783144637693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20783144637693e-05×40589641000000     		ar = 28477.4717199302m²