Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57252 / 90580
↖ ↑ ↗
← S 56.492827°
W 22.752686°		 ← 168.61 m → S 56.492827°
W 22.749939°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
S 56.494343°
W 22.752686°		 ← 168.60 m →
28 423 m²		 S 56.494343°
W 22.749939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436801910400391 y=0.691074371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436801910400391 × 217)
    floor (0.436801910400391 × 131072)
    floor (57252.5)     		tx = 57252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691074371337891 × 217)
    floor (0.691074371337891 × 131072)
    floor (90580.5)     		ty = 90580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57252 / 90580 ti = "17/57252/90580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57252/90580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57252 ÷ 217
    57252 ÷ 131072     		x = 0.436798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90580 ÷ 217
    90580 ÷ 131072     		y = 0.691070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.12640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39710928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.38214111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20053171408469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39710928} λ = -0.39710928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20053171408469))-π/2
    2×atan(0.301034105276751)-π/2
    2×0.292405244686548-π/2
    0.584810489373096-1.57079632675     		φ = -0.98598584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39710928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.752686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98598584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.492827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57252 KachelY 90580 -0.39710928 -0.98598584 -22.752686 -56.492827
    Oben rechts KachelX + 1 57253 KachelY 90580 -0.39706134 -0.98598584 -22.749939 -56.492827
    Unten links KachelX 57252 KachelY + 1 90581 -0.39710928 -0.98601230 -22.752686 -56.494343
    Unten rechts KachelX + 1 57253 KachelY + 1 90581 -0.39706134 -0.98601230 -22.749939 -56.494343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98598584--0.98601230) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98598584--0.98601230) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39710928--0.39706134) × cos(-0.98598584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552041372965453 × 6371000     		do = 168.607644848674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39710928--0.39706134) × cos(-0.98601230) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552019309981794 × 6371000     		du = 168.600906245563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98598584)-sin(-0.98601230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552041372965453-0.552019309981794)×R²
    abs(-0.39706134--0.39710928)×2.20629836591435e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20629836591435e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20629836591435e-05×40589641000000     		ar = 28422.7456351485m²