Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57252 / 88611
↖ ↑ ↗
← S 53.388243°
W 22.752686°		 ← 182.15 m → S 53.388243°
W 22.749939°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 53.389881°
W 22.752686°		 ← 182.15 m →
33 178 m²		 S 53.389881°
W 22.749939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436801910400391 y=0.676052093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436801910400391 × 217)
    floor (0.436801910400391 × 131072)
    floor (57252.5)     		tx = 57252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676052093505859 × 217)
    floor (0.676052093505859 × 131072)
    floor (88611.5)     		ty = 88611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57252 / 88611 ti = "17/57252/88611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57252/88611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57252 ÷ 217
    57252 ÷ 131072     		x = 0.436798095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88611 ÷ 217
    88611 ÷ 131072     		y = 0.676048278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.12640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39710928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676048278808594 × 2 - 1) × π
    -0.352096557617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.1061439587328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39710928} λ = -0.39710928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1061439587328))-π/2
    2×atan(0.330832207296395)-π/2
    2×0.319497854485185-π/2
    0.63899570897037-1.57079632675     		φ = -0.93180062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39710928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.752686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93180062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.388243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57252 KachelY 88611 -0.39710928 -0.93180062 -22.752686 -53.388243
    Oben rechts KachelX + 1 57253 KachelY 88611 -0.39706134 -0.93180062 -22.749939 -53.388243
    Unten links KachelX 57252 KachelY + 1 88612 -0.39710928 -0.93182921 -22.752686 -53.389881
    Unten rechts KachelX + 1 57253 KachelY + 1 88612 -0.39706134 -0.93182921 -22.749939 -53.389881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93180062--0.93182921) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93180062--0.93182921) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39710928--0.39706134) × cos(-0.93180062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596389601011237 × 6371000     		do = 182.152735217253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39710928--0.39706134) × cos(-0.93182921) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59636665171423 × 6371000     		du = 182.145725911232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93180062)-sin(-0.93182921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596389601011237-0.59636665171423)×R²
    abs(-0.39706134--0.39710928)×2.2949297007302e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2949297007302e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2949297007302e-05×40589641000000     		ar = 33177.9158653412m²