Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57250 / 90554
↖ ↑ ↗
← S 56.453385°
W 22.758179°		 ← 168.78 m → S 56.453385°
W 22.755432°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
S 56.454903°
W 22.758179°		 ← 168.78 m →
28 485 m²		 S 56.454903°
W 22.755432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436786651611328 y=0.690876007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436786651611328 × 217)
    floor (0.436786651611328 × 131072)
    floor (57250.5)     		tx = 57250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690876007080078 × 217)
    floor (0.690876007080078 × 131072)
    floor (90554.5)     		ty = 90554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57250 / 90554 ti = "17/57250/90554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57250/90554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57250 ÷ 217
    57250 ÷ 131072     		x = 0.436782836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90554 ÷ 217
    90554 ÷ 131072     		y = 0.690872192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436782836914062 × 2 - 1) × π
    -0.126434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39720515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690872192382812 × 2 - 1) × π
    -0.381744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19928535469456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39720515} λ = -0.39720515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19928535469456))-π/2
    2×atan(0.301409535872734)-π/2
    2×0.292749444456486-π/2
    0.585498888912971-1.57079632675     		φ = -0.98529744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39720515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.758179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98529744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.453385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57250 KachelY 90554 -0.39720515 -0.98529744 -22.758179 -56.453385
    Oben rechts KachelX + 1 57251 KachelY 90554 -0.39715721 -0.98529744 -22.755432 -56.453385
    Unten links KachelX 57250 KachelY + 1 90555 -0.39720515 -0.98532393 -22.758179 -56.454903
    Unten rechts KachelX + 1 57251 KachelY + 1 90555 -0.39715721 -0.98532393 -22.755432 -56.454903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98529744--0.98532393) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98529744--0.98532393) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39720515--0.39715721) × cos(-0.98529744) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552615241545461 × 6371000     		do = 168.782919084386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39720515--0.39715721) × cos(-0.98532393) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.552593163618763 × 6371000     		du = 168.776175917287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98529744)-sin(-0.98532393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552615241545461-0.552593163618763)×R²
    abs(-0.39715721--0.39720515)×2.20779266980609e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20779266980609e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20779266980609e-05×40589641000000     		ar = 28484.5512305389m²