Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57248 / 90656
↖ ↑ ↗
← S 56.607885°
W 22.763672°		 ← 168.06 m → S 56.607885°
W 22.760925°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
S 56.609397°
W 22.763672°		 ← 168.05 m →
28 256 m²		 S 56.609397°
W 22.760925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436771392822266 y=0.691654205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436771392822266 × 217)
    floor (0.436771392822266 × 131072)
    floor (57248.5)     		tx = 57248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691654205322266 × 217)
    floor (0.691654205322266 × 131072)
    floor (90656.5)     		ty = 90656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57248 / 90656 ti = "17/57248/90656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57248/90656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57248 ÷ 217
    57248 ÷ 131072     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90656 ÷ 217
    90656 ÷ 131072     		y = 0.691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.38330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20417491845581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20417491845581))-π/2
    2×atan(0.299939371888143)-π/2
    2×0.291401171428793-π/2
    0.582802342857586-1.57079632675     		φ = -0.98799398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98799398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.607885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57248 KachelY 90656 -0.39730102 -0.98799398 -22.763672 -56.607885
    Oben rechts KachelX + 1 57249 KachelY 90656 -0.39725309 -0.98799398 -22.760925 -56.607885
    Unten links KachelX 57248 KachelY + 1 90657 -0.39730102 -0.98802037 -22.763672 -56.609397
    Unten rechts KachelX + 1 57249 KachelY + 1 90657 -0.39725309 -0.98802037 -22.760925 -56.609397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98799398--0.98802037) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dl = 168.130689999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98799398--0.98802037) × R
    2.63899999999317e-05 × 6371000     		dr = 168.130689999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39725309) × cos(-0.98799398) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550365840294863 × 6371000     		do = 168.060830235198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39725309) × cos(-0.98802037) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550343806469036 × 6371000     		du = 168.054101941415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98799398)-sin(-0.98802037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550365840294863-0.550343806469036)×R²
    abs(-0.39725309--0.39730102)×2.20338258268837e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20338258268837e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20338258268837e-05×40589641000000     		ar = 28255.6177346579m²