Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57248 / 88610
↖ ↑ ↗
← S 53.386605°
W 22.763672°		 ← 182.12 m → S 53.386605°
W 22.760925°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 53.388243°
W 22.763672°		 ← 182.11 m →
33 172 m²		 S 53.388243°
W 22.760925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436771392822266 y=0.676044464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436771392822266 × 217)
    floor (0.436771392822266 × 131072)
    floor (57248.5)     		tx = 57248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676044464111328 × 217)
    floor (0.676044464111328 × 131072)
    floor (88610.5)     		ty = 88610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57248 / 88610 ti = "17/57248/88610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57248/88610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57248 ÷ 217
    57248 ÷ 131072     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88610 ÷ 217
    88610 ÷ 131072     		y = 0.676040649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676040649414062 × 2 - 1) × π
    -0.352081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10609602183318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10609602183318))-π/2
    2×atan(0.33084806674683)-π/2
    2×0.319512149294465-π/2
    0.63902429858893-1.57079632675     		φ = -0.93177203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93177203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.386605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57248 KachelY 88610 -0.39730102 -0.93177203 -22.763672 -53.386605
    Oben rechts KachelX + 1 57249 KachelY 88610 -0.39725309 -0.93177203 -22.760925 -53.386605
    Unten links KachelX 57248 KachelY + 1 88611 -0.39730102 -0.93180062 -22.763672 -53.388243
    Unten rechts KachelX + 1 57249 KachelY + 1 88611 -0.39725309 -0.93180062 -22.760925 -53.388243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93177203--0.93180062) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93177203--0.93180062) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39725309) × cos(-0.93177203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596412549820762 × 6371000     		do = 182.121746930856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39725309) × cos(-0.93180062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596389601011237 × 6371000     		du = 182.114739235793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93177203)-sin(-0.93180062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596412549820762-0.596389601011237)×R²
    abs(-0.39725309--0.39730102)×2.29488095254693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29488095254693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29488095254693e-05×40589641000000     		ar = 33172.271592187m²