Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57247 / 90523
↖ ↑ ↗
← S 56.406304°
W 22.766418°		 ← 168.99 m → S 56.406304°
W 22.763672°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
S 56.407823°
W 22.766418°		 ← 168.99 m →
28 552 m²		 S 56.407823°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436763763427734 y=0.690639495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436763763427734 × 217)
    floor (0.436763763427734 × 131072)
    floor (57247.5)     		tx = 57247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690639495849609 × 217)
    floor (0.690639495849609 × 131072)
    floor (90523.5)     		ty = 90523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57247 / 90523 ti = "17/57247/90523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57247/90523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57247 ÷ 217
    57247 ÷ 131072     		x = 0.436759948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90523 ÷ 217
    90523 ÷ 131072     		y = 0.690635681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436759948730469 × 2 - 1) × π
    -0.126480102539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39734896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690635681152344 × 2 - 1) × π
    -0.381271362304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.19779931080634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39734896} λ = -0.39734896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19779931080634))-π/2
    2×atan(0.301857776641608)-π/2
    2×0.293160304039767-π/2
    0.586320608079534-1.57079632675     		φ = -0.98447572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39734896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.766418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98447572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.406304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57247 KachelY 90523 -0.39734896 -0.98447572 -22.766418 -56.406304
    Oben rechts KachelX + 1 57248 KachelY 90523 -0.39730102 -0.98447572 -22.763672 -56.406304
    Unten links KachelX 57247 KachelY + 1 90524 -0.39734896 -0.98450224 -22.766418 -56.407823
    Unten rechts KachelX + 1 57248 KachelY + 1 90524 -0.39730102 -0.98450224 -22.763672 -56.407823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98447572--0.98450224) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dl = 168.958919999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98447572--0.98450224) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dr = 168.958919999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39734896--0.39730102) × cos(-0.98447572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553299906337383 × 6371000     		do = 168.992033334915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39734896--0.39730102) × cos(-0.98450224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.55327781545697 × 6371000     		du = 168.985286211418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98447572)-sin(-0.98450224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553299906337383-0.55327781545697)×R²
    abs(-0.39730102--0.39734896)×2.20908804129394e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20908804129394e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20908804129394e-05×40589641000000     		ar = 28552.1414490677m²