Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57247 / 90521
↖ ↑ ↗
← S 56.403264°
W 22.766418°		 ← 169.01 m → S 56.403264°
W 22.763672°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
S 56.404784°
W 22.766418°		 ← 169 m →
28 554 m²		 S 56.404784°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436763763427734 y=0.690624237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436763763427734 × 217)
    floor (0.436763763427734 × 131072)
    floor (57247.5)     		tx = 57247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690624237060547 × 217)
    floor (0.690624237060547 × 131072)
    floor (90521.5)     		ty = 90521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57247 / 90521 ti = "17/57247/90521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57247/90521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57247 ÷ 217
    57247 ÷ 131072     		x = 0.436759948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90521 ÷ 217
    90521 ÷ 131072     		y = 0.690620422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436759948730469 × 2 - 1) × π
    -0.126480102539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39734896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690620422363281 × 2 - 1) × π
    -0.381240844726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.1977034370071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39734896} λ = -0.39734896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1977034370071))-π/2
    2×atan(0.301886718280836)-π/2
    2×0.293186828581002-π/2
    0.586373657162004-1.57079632675     		φ = -0.98442267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39734896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.766418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98442267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.403264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57247 KachelY 90521 -0.39734896 -0.98442267 -22.766418 -56.403264
    Oben rechts KachelX + 1 57248 KachelY 90521 -0.39730102 -0.98442267 -22.763672 -56.403264
    Unten links KachelX 57247 KachelY + 1 90522 -0.39734896 -0.98444919 -22.766418 -56.404784
    Unten rechts KachelX + 1 57248 KachelY + 1 90522 -0.39730102 -0.98444919 -22.763672 -56.404784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98442267--0.98444919) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dl = 168.958919999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98442267--0.98444919) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dr = 168.958919999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39734896--0.39730102) × cos(-0.98442267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553344095260296 × 6371000     		do = 169.005529769396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39734896--0.39730102) × cos(-0.98444919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553322005158329 × 6371000     		du = 168.998782883656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98442267)-sin(-0.98444919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553344095260296-0.553322005158329)×R²
    abs(-0.39730102--0.39734896)×2.20901019675201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20901019675201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20901019675201e-05×40589641000000     		ar = 28554.4218121835m²