Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57246 / 90587
↖ ↑ ↗
← S 56.503439°
W 22.769165°		 ← 168.56 m → S 56.503439°
W 22.766418°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
S 56.504955°
W 22.769165°		 ← 168.55 m →
28 415 m²		 S 56.504955°
W 22.766418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436756134033203 y=0.691127777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436756134033203 × 217)
    floor (0.436756134033203 × 131072)
    floor (57246.5)     		tx = 57246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691127777099609 × 217)
    floor (0.691127777099609 × 131072)
    floor (90587.5)     		ty = 90587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57246 / 90587 ti = "17/57246/90587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57246/90587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57246 ÷ 217
    57246 ÷ 131072     		x = 0.436752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90587 ÷ 217
    90587 ÷ 131072     		y = 0.691123962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436752319335938 × 2 - 1) × π
    -0.126495361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39739690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691123962402344 × 2 - 1) × π
    -0.382247924804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.20086727238203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39739690} λ = -0.39739690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20086727238203))-π/2
    2×atan(0.300933107731173)-π/2
    2×0.292312636611332-π/2
    0.584625273222663-1.57079632675     		φ = -0.98617105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39739690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.769165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98617105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.503439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57246 KachelY 90587 -0.39739690 -0.98617105 -22.769165 -56.503439
    Oben rechts KachelX + 1 57247 KachelY 90587 -0.39734896 -0.98617105 -22.766418 -56.503439
    Unten links KachelX 57246 KachelY + 1 90588 -0.39739690 -0.98619751 -22.769165 -56.504955
    Unten rechts KachelX + 1 57247 KachelY + 1 90588 -0.39734896 -0.98619751 -22.766418 -56.504955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98617105--0.98619751) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98617105--0.98619751) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39739690--0.39734896) × cos(-0.98617105) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551886932303359 × 6371000     		do = 168.560474695168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39739690--0.39734896) × cos(-0.98619751) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551864866614768 × 6371000     		du = 168.553735265901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98617105)-sin(-0.98619751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551886932303359-0.551864866614768)×R²
    abs(-0.39734896--0.39739690)×2.20656885918658e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20656885918658e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20656885918658e-05×40589641000000     		ar = 28414.7937786609m²