Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57245 / 90659
↖ ↑ ↗
← S 56.612420°
W 22.771911°		 ← 168.04 m → S 56.612420°
W 22.769165°		 →
↑
168.07 m
↓
↑
168.07 m
↓
S 56.613932°
W 22.771911°		 ← 168.03 m →
28 242 m²		 S 56.613932°
W 22.769165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436748504638672 y=0.691677093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436748504638672 × 217)
    floor (0.436748504638672 × 131072)
    floor (57245.5)     		tx = 57245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691677093505859 × 217)
    floor (0.691677093505859 × 131072)
    floor (90659.5)     		ty = 90659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57245 / 90659 ti = "17/57245/90659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57245/90659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57245 ÷ 217
    57245 ÷ 131072     		x = 0.436744689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90659 ÷ 217
    90659 ÷ 131072     		y = 0.691673278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436744689941406 × 2 - 1) × π
    -0.126510620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39744483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691673278808594 × 2 - 1) × π
    -0.383346557617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.20431872915467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39744483} λ = -0.39744483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20431872915467))-π/2
    2×atan(0.299896240498908)-π/2
    2×0.291361599556774-π/2
    0.582723199113548-1.57079632675     		φ = -0.98807313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39744483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.771911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98807313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.612420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57245 KachelY 90659 -0.39744483 -0.98807313 -22.771911 -56.612420
    Oben rechts KachelX + 1 57246 KachelY 90659 -0.39739690 -0.98807313 -22.769165 -56.612420
    Unten links KachelX 57245 KachelY + 1 90660 -0.39744483 -0.98809951 -22.771911 -56.613932
    Unten rechts KachelX + 1 57246 KachelY + 1 90660 -0.39739690 -0.98809951 -22.769165 -56.613932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98807313--0.98809951) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dl = 168.066979999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98807313--0.98809951) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dr = 168.066979999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39744483--0.39739690) × cos(-0.98807313) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.55029975436691 × 6371000     		do = 168.040650102084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39744483--0.39739690) × cos(-0.98809951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550277727741405 × 6371000     		du = 168.033924007006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98807313)-sin(-0.98809951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55029975436691-0.550277727741405)×R²
    abs(-0.39739690--0.39744483)×2.20266255048784e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20266255048784e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20266255048784e-05×40589641000000     		ar = 28241.5193642143m²