Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57245 / 90657
↖ ↑ ↗
← S 56.609397°
W 22.771911°		 ← 168.05 m → S 56.609397°
W 22.769165°		 →
↑
168.07 m
↓
↑
168.07 m
↓
S 56.610909°
W 22.771911°		 ← 168.05 m →
28 244 m²		 S 56.610909°
W 22.769165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436748504638672 y=0.691661834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436748504638672 × 217)
    floor (0.436748504638672 × 131072)
    floor (57245.5)     		tx = 57245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691661834716797 × 217)
    floor (0.691661834716797 × 131072)
    floor (90657.5)     		ty = 90657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57245 / 90657 ti = "17/57245/90657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57245/90657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57245 ÷ 217
    57245 ÷ 131072     		x = 0.436744689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90657 ÷ 217
    90657 ÷ 131072     		y = 0.691658020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436744689941406 × 2 - 1) × π
    -0.126510620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39744483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691658020019531 × 2 - 1) × π
    -0.383316040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.20422285535543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39744483} λ = -0.39744483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20422285535543))-π/2
    2×atan(0.299924994069198)-π/2
    2×0.291387980276834-π/2
    0.582775960553668-1.57079632675     		φ = -0.98802037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39744483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.771911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98802037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.609397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57245 KachelY 90657 -0.39744483 -0.98802037 -22.771911 -56.609397
    Oben rechts KachelX + 1 57246 KachelY 90657 -0.39739690 -0.98802037 -22.769165 -56.609397
    Unten links KachelX 57245 KachelY + 1 90658 -0.39744483 -0.98804675 -22.771911 -56.610909
    Unten rechts KachelX + 1 57246 KachelY + 1 90658 -0.39739690 -0.98804675 -22.769165 -56.610909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98802037--0.98804675) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dl = 168.066979999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98802037--0.98804675) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dr = 168.066979999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39744483--0.39739690) × cos(-0.98802037) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550343806469036 × 6371000     		do = 168.054101941415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39744483--0.39739690) × cos(-0.98804675) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.550321780609459 × 6371000     		du = 168.047376080222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98802037)-sin(-0.98804675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550343806469036-0.550321780609459)×R²
    abs(-0.39739690--0.39744483)×2.20258595774458e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20258595774458e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20258595774458e-05×40589641000000     		ar = 28243.7801938162m²