Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57244 / 90587
↖ ↑ ↗
← S 56.503439°
W 22.774658°		 ← 168.56 m → S 56.503439°
W 22.771911°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
S 56.504955°
W 22.774658°		 ← 168.55 m →
28 415 m²		 S 56.504955°
W 22.771911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436740875244141 y=0.691127777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436740875244141 × 217)
    floor (0.436740875244141 × 131072)
    floor (57244.5)     		tx = 57244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691127777099609 × 217)
    floor (0.691127777099609 × 131072)
    floor (90587.5)     		ty = 90587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57244 / 90587 ti = "17/57244/90587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57244/90587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57244 ÷ 217
    57244 ÷ 131072     		x = 0.436737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90587 ÷ 217
    90587 ÷ 131072     		y = 0.691123962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691123962402344 × 2 - 1) × π
    -0.382247924804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.20086727238203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39749277} λ = -0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20086727238203))-π/2
    2×atan(0.300933107731173)-π/2
    2×0.292312636611332-π/2
    0.584625273222663-1.57079632675     		φ = -0.98617105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98617105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.503439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57244 KachelY 90587 -0.39749277 -0.98617105 -22.774658 -56.503439
    Oben rechts KachelX + 1 57245 KachelY 90587 -0.39744483 -0.98617105 -22.771911 -56.503439
    Unten links KachelX 57244 KachelY + 1 90588 -0.39749277 -0.98619751 -22.774658 -56.504955
    Unten rechts KachelX + 1 57245 KachelY + 1 90588 -0.39744483 -0.98619751 -22.771911 -56.504955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98617105--0.98619751) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98617105--0.98619751) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39749277--0.39744483) × cos(-0.98617105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.551886932303359 × 6371000     		do = 168.560474694973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39749277--0.39744483) × cos(-0.98619751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.551864866614768 × 6371000     		du = 168.553735265706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98617105)-sin(-0.98619751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551886932303359-0.551864866614768)×R²
    abs(-0.39744483--0.39749277)×2.20656885918658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20656885918658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20656885918658e-05×40589641000000     		ar = 28414.793778628m²