Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57243 / 90661
↖ ↑ ↗
← S 56.615443°
W 22.777405°		 ← 168.06 m → S 56.615443°
W 22.774658°		 →
↑
168.07 m
↓
↑
168.07 m
↓
S 56.616954°
W 22.777405°		 ← 168.06 m →
28 245 m²		 S 56.616954°
W 22.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436733245849609 y=0.691692352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436733245849609 × 217)
    floor (0.436733245849609 × 131072)
    floor (57243.5)     		tx = 57243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691692352294922 × 217)
    floor (0.691692352294922 × 131072)
    floor (90661.5)     		ty = 90661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57243 / 90661 ti = "17/57243/90661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57243/90661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57243 ÷ 217
    57243 ÷ 131072     		x = 0.436729431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90661 ÷ 217
    90661 ÷ 131072     		y = 0.691688537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436729431152344 × 2 - 1) × π
    -0.126541137695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39754071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691688537597656 × 2 - 1) × π
    -0.383377075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.20441460295391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39754071} λ = -0.39754071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20441460295391))-π/2
    2×atan(0.2998674896852)-π/2
    2×0.291335220948444-π/2
    0.582670441896889-1.57079632675     		φ = -0.98812588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39754071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.777405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98812588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.615443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57243 KachelY 90661 -0.39754071 -0.98812588 -22.777405 -56.615443
    Oben rechts KachelX + 1 57244 KachelY 90661 -0.39749277 -0.98812588 -22.774658 -56.615443
    Unten links KachelX 57243 KachelY + 1 90662 -0.39754071 -0.98815226 -22.777405 -56.616954
    Unten rechts KachelX + 1 57244 KachelY + 1 90662 -0.39749277 -0.98815226 -22.774658 -56.616954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98812588--0.98815226) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dl = 168.066979999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98812588--0.98815226) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dr = 168.066979999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39754071--0.39749277) × cos(-0.98812588) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550255709082922 × 6371000     		do = 168.062257135961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39754071--0.39749277) × cos(-0.98815226) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550233681691696 × 6371000     		du = 168.055529403695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98812588)-sin(-0.98815226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550255709082922-0.550233681691696)×R²
    abs(-0.39749277--0.39754071)×2.20273912256985e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20273912256985e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20273912256985e-05×40589641000000     		ar = 28245.150655613m²