Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57242 / 90570
↖ ↑ ↗
← S 56.477662°
W 22.780152°		 ← 168.68 m → S 56.477662°
W 22.777405°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
S 56.479179°
W 22.780152°		 ← 168.67 m →
28 456 m²		 S 56.479179°
W 22.777405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436725616455078 y=0.690998077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436725616455078 × 217)
    floor (0.436725616455078 × 131072)
    floor (57242.5)     		tx = 57242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690998077392578 × 217)
    floor (0.690998077392578 × 131072)
    floor (90570.5)     		ty = 90570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57242 / 90570 ti = "17/57242/90570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57242/90570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57242 ÷ 217
    57242 ÷ 131072     		x = 0.436721801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90570 ÷ 217
    90570 ÷ 131072     		y = 0.690994262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436721801757812 × 2 - 1) × π
    -0.126556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39758865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690994262695312 × 2 - 1) × π
    -0.381988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20005234508849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39758865} λ = -0.39758865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20005234508849))-π/2
    2×atan(0.301178446287158)-π/2
    2×0.292537586892145-π/2
    0.585075173784291-1.57079632675     		φ = -0.98572115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39758865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.780152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98572115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.477662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57242 KachelY 90570 -0.39758865 -0.98572115 -22.780152 -56.477662
    Oben rechts KachelX + 1 57243 KachelY 90570 -0.39754071 -0.98572115 -22.777405 -56.477662
    Unten links KachelX 57242 KachelY + 1 90571 -0.39758865 -0.98574763 -22.780152 -56.479179
    Unten rechts KachelX + 1 57243 KachelY + 1 90571 -0.39754071 -0.98574763 -22.777405 -56.479179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98572115--0.98574763) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dl = 168.704079999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98572115--0.98574763) × R
    2.64799999999399e-05 × 6371000     		dr = 168.704079999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39758865--0.39754071) × cos(-0.98572115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552262056572261 × 6371000     		do = 168.675047302394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39758865--0.39754071) × cos(-0.98574763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552239980781924 × 6371000     		du = 168.668304787794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98572115)-sin(-0.98574763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552262056572261-0.552239980781924)×R²
    abs(-0.39754071--0.39758865)×2.20757903366398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20757903366398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20757903366398e-05×40589641000000     		ar = 28455.5999309811m²