Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57240 / 90648
↖ ↑ ↗
← S 56.595791°
W 22.785645°		 ← 168.15 m → S 56.595791°
W 22.782898°		 →
↑
168.13 m
↓
↑
168.13 m
↓
S 56.597303°
W 22.785645°		 ← 168.14 m →
28 271 m²		 S 56.597303°
W 22.782898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436710357666016 y=0.691593170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436710357666016 × 217)
    floor (0.436710357666016 × 131072)
    floor (57240.5)     		tx = 57240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691593170166016 × 217)
    floor (0.691593170166016 × 131072)
    floor (90648.5)     		ty = 90648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57240 / 90648 ti = "17/57240/90648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57240/90648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57240 ÷ 217
    57240 ÷ 131072     		x = 0.43670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90648 ÷ 217
    90648 ÷ 131072     		y = 0.69158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39768452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.3831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20379142325885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39768452} λ = -0.39768452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20379142325885))-π/2
    2×atan(0.300054419255288)-π/2
    2×0.29150671965234-π/2
    0.58301343930468-1.57079632675     		φ = -0.98778289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39768452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.785645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98778289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.595791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57240 KachelY 90648 -0.39768452 -0.98778289 -22.785645 -56.595791
    Oben rechts KachelX + 1 57241 KachelY 90648 -0.39763658 -0.98778289 -22.782898 -56.595791
    Unten links KachelX 57240 KachelY + 1 90649 -0.39768452 -0.98780928 -22.785645 -56.597303
    Unten rechts KachelX + 1 57241 KachelY + 1 90649 -0.39763658 -0.98780928 -22.782898 -56.597303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98778289--0.98780928) × R
    2.63900000000428e-05 × 6371000     		dl = 168.130690000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98778289--0.98780928) × R
    2.63900000000428e-05 × 6371000     		dr = 168.130690000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39768452--0.39763658) × cos(-0.98778289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.55054207205744 × 6371000     		do = 168.149719759167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39768452--0.39763658) × cos(-0.98780928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.550520041297946 × 6371000     		du = 168.142990998146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98778289)-sin(-0.98780928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55054207205744-0.550520041297946)×R²
    abs(-0.39763658--0.39768452)×2.20307594936964e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20307594936964e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20307594936964e-05×40589641000000     		ar = 28270.5627525205m²