Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57238 / 90583
↖ ↑ ↗
← S 56.497375°
W 22.791138°		 ← 168.55 m → S 56.497375°
W 22.788391°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
S 56.498891°
W 22.791138°		 ← 168.55 m →
28 413 m²		 S 56.498891°
W 22.788391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436695098876953 y=0.691097259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436695098876953 × 217)
    floor (0.436695098876953 × 131072)
    floor (57238.5)     		tx = 57238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691097259521484 × 217)
    floor (0.691097259521484 × 131072)
    floor (90583.5)     		ty = 90583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57238 / 90583 ti = "17/57238/90583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57238/90583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57238 ÷ 217
    57238 ÷ 131072     		x = 0.436691284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90583 ÷ 217
    90583 ÷ 131072     		y = 0.691093444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436691284179688 × 2 - 1) × π
    -0.126617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39778039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691093444824219 × 2 - 1) × π
    -0.382186889648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.20067552478355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39778039} λ = -0.39778039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20067552478355))-π/2
    2×atan(0.300990816464462)-π/2
    2×0.29236555233845-π/2
    0.584731104676899-1.57079632675     		φ = -0.98606522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39778039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.791138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98606522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.497375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57238 KachelY 90583 -0.39778039 -0.98606522 -22.791138 -56.497375
    Oben rechts KachelX + 1 57239 KachelY 90583 -0.39773246 -0.98606522 -22.788391 -56.497375
    Unten links KachelX 57238 KachelY + 1 90584 -0.39778039 -0.98609168 -22.791138 -56.498891
    Unten rechts KachelX + 1 57239 KachelY + 1 90584 -0.39773246 -0.98609168 -22.788391 -56.498891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98606522--0.98609168) × R
    2.64600000000614e-05 × 6371000     		dl = 168.576660000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98606522--0.98609168) × R
    2.64600000000614e-05 × 6371000     		dr = 168.576660000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39778039--0.39773246) × cos(-0.98606522) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.551975182855032 × 6371000     		do = 168.552262346142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39778039--0.39773246) × cos(-0.98609168) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.551953118711961 × 6371000     		du = 168.545524794623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98606522)-sin(-0.98609168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551975182855032-0.551953118711961)×R²
    abs(-0.39773246--0.39778039)×2.20641430712654e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20641430712654e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20641430712654e-05×40589641000000     		ar = 28413.4095266504m²