Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57238 / 90452
↖ ↑ ↗
← S 56.298253°
W 22.791138°		 ← 169.44 m → S 56.298253°
W 22.788391°		 →
↑
169.47 m
↓
↑
169.47 m
↓
S 56.299777°
W 22.791138°		 ← 169.43 m →
28 714 m²		 S 56.299777°
W 22.788391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436695098876953 y=0.690097808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436695098876953 × 217)
    floor (0.436695098876953 × 131072)
    floor (57238.5)     		tx = 57238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690097808837891 × 217)
    floor (0.690097808837891 × 131072)
    floor (90452.5)     		ty = 90452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57238 / 90452 ti = "17/57238/90452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57238/90452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57238 ÷ 217
    57238 ÷ 131072     		x = 0.436691284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90452 ÷ 217
    90452 ÷ 131072     		y = 0.690093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436691284179688 × 2 - 1) × π
    -0.126617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39778039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.38018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19439579093332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39778039} λ = -0.39778039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19439579093332))-π/2
    2×atan(0.302886905920764)-π/2
    2×0.294103223087107-π/2
    0.588206446174213-1.57079632675     		φ = -0.98258988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39778039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.791138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98258988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.298253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57238 KachelY 90452 -0.39778039 -0.98258988 -22.791138 -56.298253
    Oben rechts KachelX + 1 57239 KachelY 90452 -0.39773246 -0.98258988 -22.788391 -56.298253
    Unten links KachelX 57238 KachelY + 1 90453 -0.39778039 -0.98261648 -22.791138 -56.299777
    Unten rechts KachelX + 1 57239 KachelY + 1 90453 -0.39773246 -0.98261648 -22.788391 -56.299777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98258988--0.98261648) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dl = 169.468599999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98258988--0.98261648) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dr = 169.468599999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39778039--0.39773246) × cos(-0.98258988) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.554869792533523 × 6371000     		do = 169.436166233623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39778039--0.39773246) × cos(-0.98261648) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.554847662807566 × 6371000     		du = 169.429408655581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98258988)-sin(-0.98261648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554869792533523-0.554847662807566)×R²
    abs(-0.39773246--0.39778039)×2.212972595661e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.212972595661e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.212972595661e-05×40589641000000     		ar = 28713.5372839772m²