Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57228 / 90548
↖ ↑ ↗
← S 56.444277°
W 22.818603°		 ← 168.79 m → S 56.444277°
W 22.815857°		 →
↑
168.83 m
↓
↑
168.83 m
↓
S 56.445795°
W 22.818603°		 ← 168.78 m →
28 496 m²		 S 56.445795°
W 22.815857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436618804931641 y=0.690830230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436618804931641 × 217)
    floor (0.436618804931641 × 131072)
    floor (57228.5)     		tx = 57228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690830230712891 × 217)
    floor (0.690830230712891 × 131072)
    floor (90548.5)     		ty = 90548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57228 / 90548 ti = "17/57228/90548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57228/90548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57228 ÷ 217
    57228 ÷ 131072     		x = 0.436614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90548 ÷ 217
    90548 ÷ 131072     		y = 0.690826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.12677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39825976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.38165283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19899773329684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39825976} λ = -0.39825976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19899773329684))-π/2
    2×atan(0.301496240173136)-π/2
    2×0.292828925966534-π/2
    0.585657851933067-1.57079632675     		φ = -0.98513847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39825976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.818603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98513847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.444277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57228 KachelY 90548 -0.39825976 -0.98513847 -22.818603 -56.444277
    Oben rechts KachelX + 1 57229 KachelY 90548 -0.39821183 -0.98513847 -22.815857 -56.444277
    Unten links KachelX 57228 KachelY + 1 90549 -0.39825976 -0.98516497 -22.818603 -56.445795
    Unten rechts KachelX + 1 57229 KachelY + 1 90549 -0.39821183 -0.98516497 -22.815857 -56.445795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98513847--0.98516497) × R
    2.65000000000404e-05 × 6371000     		dl = 168.831500000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98513847--0.98516497) × R
    2.65000000000404e-05 × 6371000     		dr = 168.831500000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39825976--0.39821183) × cos(-0.98513847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.552747725962161 × 6371000     		do = 168.788167677792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39825976--0.39821183) × cos(-0.98516497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.552725642029189 × 6371000     		du = 168.78142408319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98513847)-sin(-0.98516497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552747725962161-0.552725642029189)×R²
    abs(-0.39821183--0.39825976)×2.20839329718725e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20839329718725e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20839329718725e-05×40589641000000     		ar = 28496.1902674084m²