Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57227 / 90527
↖ ↑ ↗
← S 56.412382°
W 22.821350°		 ← 168.97 m → S 56.412382°
W 22.818603°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
S 56.413901°
W 22.821350°		 ← 168.96 m →
28 548 m²		 S 56.413901°
W 22.818603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436611175537109 y=0.690670013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436611175537109 × 217)
    floor (0.436611175537109 × 131072)
    floor (57227.5)     		tx = 57227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690670013427734 × 217)
    floor (0.690670013427734 × 131072)
    floor (90527.5)     		ty = 90527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57227 / 90527 ti = "17/57227/90527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57227/90527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57227 ÷ 217
    57227 ÷ 131072     		x = 0.436607360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90527 ÷ 217
    90527 ÷ 131072     		y = 0.690666198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436607360839844 × 2 - 1) × π
    -0.126785278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39830770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690666198730469 × 2 - 1) × π
    -0.381332397460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.19799105840482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39830770} λ = -0.39830770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19799105840482))-π/2
    2×atan(0.301799901686724)-π/2
    2×0.293107261311791-π/2
    0.586214522623582-1.57079632675     		φ = -0.98458180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39830770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.821350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98458180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.412382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57227 KachelY 90527 -0.39830770 -0.98458180 -22.821350 -56.412382
    Oben rechts KachelX + 1 57228 KachelY 90527 -0.39825976 -0.98458180 -22.818603 -56.412382
    Unten links KachelX 57227 KachelY + 1 90528 -0.39830770 -0.98460832 -22.821350 -56.413901
    Unten rechts KachelX + 1 57228 KachelY + 1 90528 -0.39825976 -0.98460832 -22.818603 -56.413901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98458180--0.98460832) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98458180--0.98460832) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39830770--0.39825976) × cos(-0.98458180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553211540481037 × 6371000     		do = 168.96504412785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39830770--0.39825976) × cos(-0.98460832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553189448044213 × 6371000     		du = 168.958296528985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98458180)-sin(-0.98460832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553211540481037-0.553189448044213)×R²
    abs(-0.39825976--0.39830770)×2.20924368240505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20924368240505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20924368240505e-05×40589641000000     		ar = 28547.5813417756m²