Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57227 / 90519
↖ ↑ ↗
← S 56.400225°
W 22.821350°		 ← 169.02 m → S 56.400225°
W 22.818603°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
S 56.401744°
W 22.821350°		 ← 169.01 m →
28 557 m²		 S 56.401744°
W 22.818603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436611175537109 y=0.690608978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436611175537109 × 217)
    floor (0.436611175537109 × 131072)
    floor (57227.5)     		tx = 57227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690608978271484 × 217)
    floor (0.690608978271484 × 131072)
    floor (90519.5)     		ty = 90519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57227 / 90519 ti = "17/57227/90519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57227/90519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57227 ÷ 217
    57227 ÷ 131072     		x = 0.436607360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90519 ÷ 217
    90519 ÷ 131072     		y = 0.690605163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436607360839844 × 2 - 1) × π
    -0.126785278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39830770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690605163574219 × 2 - 1) × π
    -0.381210327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.19760756320786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39830770} λ = -0.39830770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19760756320786))-π/2
    2×atan(0.301915662694941)-π/2
    2×0.293213355240528-π/2
    0.586426710481056-1.57079632675     		φ = -0.98436962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39830770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.821350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98436962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.400225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57227 KachelY 90519 -0.39830770 -0.98436962 -22.821350 -56.400225
    Oben rechts KachelX + 1 57228 KachelY 90519 -0.39825976 -0.98436962 -22.818603 -56.400225
    Unten links KachelX 57227 KachelY + 1 90520 -0.39830770 -0.98439614 -22.821350 -56.401744
    Unten rechts KachelX + 1 57228 KachelY + 1 90520 -0.39825976 -0.98439614 -22.818603 -56.401744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98436962--0.98439614) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98436962--0.98439614) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39830770--0.39825976) × cos(-0.98436962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553388282625932 × 6371000     		do = 169.019025728244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39830770--0.39825976) × cos(-0.98439614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553366193302472 × 6371000     		du = 169.01227908028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98436962)-sin(-0.98439614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553388282625932-0.553366193302472)×R²
    abs(-0.39825976--0.39830770)×2.20893234599284e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20893234599284e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20893234599284e-05×40589641000000     		ar = 28556.7020949343m²