Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57226 / 90605
↖ ↑ ↗
← S 56.530714°
W 22.824097°		 ← 168.44 m → S 56.530714°
W 22.821350°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
S 56.532228°
W 22.824097°		 ← 168.43 m →
28 362 m²		 S 56.532228°
W 22.821350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436603546142578 y=0.691265106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436603546142578 × 217)
    floor (0.436603546142578 × 131072)
    floor (57226.5)     		tx = 57226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691265106201172 × 217)
    floor (0.691265106201172 × 131072)
    floor (90605.5)     		ty = 90605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57226 / 90605 ti = "17/57226/90605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57226/90605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57226 ÷ 217
    57226 ÷ 131072     		x = 0.436599731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90605 ÷ 217
    90605 ÷ 131072     		y = 0.691261291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436599731445312 × 2 - 1) × π
    -0.126800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39835564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691261291503906 × 2 - 1) × π
    -0.382522583007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.20173013657519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39835564} λ = -0.39835564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20173013657519))-π/2
    2×atan(0.300673555323318)-π/2
    2×0.292074620528885-π/2
    0.584149241057771-1.57079632675     		φ = -0.98664709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39835564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.824097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98664709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.530714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57226 KachelY 90605 -0.39835564 -0.98664709 -22.824097 -56.530714
    Oben rechts KachelX + 1 57227 KachelY 90605 -0.39830770 -0.98664709 -22.821350 -56.530714
    Unten links KachelX 57226 KachelY + 1 90606 -0.39835564 -0.98667352 -22.824097 -56.532228
    Unten rechts KachelX + 1 57227 KachelY + 1 90606 -0.39830770 -0.98667352 -22.821350 -56.532228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98664709--0.98667352) × R
    2.64300000000217e-05 × 6371000     		dl = 168.385530000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98664709--0.98667352) × R
    2.64300000000217e-05 × 6371000     		dr = 168.385530000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39835564--0.39830770) × cos(-0.98664709) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551489891009068 × 6371000     		do = 168.439208064049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39835564--0.39830770) × cos(-0.98667352) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551467843397422 × 6371000     		du = 168.432474155946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98664709)-sin(-0.98667352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551489891009068-0.551467843397422)×R²
    abs(-0.39830770--0.39835564)×2.20476116455925e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20476116455925e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20476116455925e-05×40589641000000     		ar = 28362.1583781256m²