Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57226 / 90517
↖ ↑ ↗
← S 56.397185°
W 22.824097°		 ← 169.03 m → S 56.397185°
W 22.821350°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
S 56.398705°
W 22.824097°		 ← 169.03 m →
28 570 m²		 S 56.398705°
W 22.821350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436603546142578 y=0.690593719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436603546142578 × 217)
    floor (0.436603546142578 × 131072)
    floor (57226.5)     		tx = 57226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690593719482422 × 217)
    floor (0.690593719482422 × 131072)
    floor (90517.5)     		ty = 90517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57226 / 90517 ti = "17/57226/90517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57226/90517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57226 ÷ 217
    57226 ÷ 131072     		x = 0.436599731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90517 ÷ 217
    90517 ÷ 131072     		y = 0.690589904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436599731445312 × 2 - 1) × π
    -0.126800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39835564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690589904785156 × 2 - 1) × π
    -0.381179809570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.19751168940862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39835564} λ = -0.39835564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19751168940862))-π/2
    2×atan(0.30194460988419)-π/2
    2×0.293239884018438-π/2
    0.586479768036877-1.57079632675     		φ = -0.98431656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39835564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.824097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98431656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.397185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57226 KachelY 90517 -0.39835564 -0.98431656 -22.824097 -56.397185
    Oben rechts KachelX + 1 57227 KachelY 90517 -0.39830770 -0.98431656 -22.821350 -56.397185
    Unten links KachelX 57226 KachelY + 1 90518 -0.39835564 -0.98434309 -22.824097 -56.398705
    Unten rechts KachelX + 1 57227 KachelY + 1 90518 -0.39830770 -0.98434309 -22.821350 -56.398705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98431656--0.98434309) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dl = 169.022629999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98431656--0.98434309) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dr = 169.022629999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39835564--0.39830770) × cos(-0.98431656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553432476763106 × 6371000     		do = 169.032523755489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39835564--0.39830770) × cos(-0.98434309) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553410379889276 × 6371000     		du = 169.025774801448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98431656)-sin(-0.98434309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553432476763106-0.553410379889276)×R²
    abs(-0.39830770--0.39835564)×2.20968738305904e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20968738305904e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20968738305904e-05×40589641000000     		ar = 28569.7513592425m²