Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57224 / 90524
↖ ↑ ↗
← S 56.407823°
W 22.829590°		 ← 168.99 m → S 56.407823°
W 22.826843°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
S 56.409343°
W 22.829590°		 ← 168.98 m →
28 551 m²		 S 56.409343°
W 22.826843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436588287353516 y=0.690647125244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436588287353516 × 217)
    floor (0.436588287353516 × 131072)
    floor (57224.5)     		tx = 57224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690647125244141 × 217)
    floor (0.690647125244141 × 131072)
    floor (90524.5)     		ty = 90524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57224 / 90524 ti = "17/57224/90524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57224/90524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57224 ÷ 217
    57224 ÷ 131072     		x = 0.43658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90524 ÷ 217
    90524 ÷ 131072     		y = 0.690643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39845151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.38128662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19784724770596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39845151} λ = -0.39845151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19784724770596))-π/2
    2×atan(0.301843306862491)-π/2
    2×0.293147042563479-π/2
    0.586294085126958-1.57079632675     		φ = -0.98450224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39845151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.829590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98450224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.407823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57224 KachelY 90524 -0.39845151 -0.98450224 -22.829590 -56.407823
    Oben rechts KachelX + 1 57225 KachelY 90524 -0.39840357 -0.98450224 -22.826843 -56.407823
    Unten links KachelX 57224 KachelY + 1 90525 -0.39845151 -0.98452876 -22.829590 -56.409343
    Unten rechts KachelX + 1 57225 KachelY + 1 90525 -0.39840357 -0.98452876 -22.826843 -56.409343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98450224--0.98452876) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98450224--0.98452876) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39845151--0.39840357) × cos(-0.98450224) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55327781545697 × 6371000     		do = 168.985286211613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39845151--0.39840357) × cos(-0.98452876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553255724187431 × 6371000     		du = 168.978538969267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98450224)-sin(-0.98452876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55327781545697-0.553255724187431)×R²
    abs(-0.39840357--0.39845151)×2.20912695390041e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20912695390041e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20912695390041e-05×40589641000000     		ar = 28551.0014524686m²