Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57223 / 90526
↖ ↑ ↗
← S 56.410862°
W 22.832337°		 ← 168.97 m → S 56.410862°
W 22.829590°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
S 56.412382°
W 22.832337°		 ← 168.97 m →
28 549 m²		 S 56.412382°
W 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436580657958984 y=0.690662384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436580657958984 × 217)
    floor (0.436580657958984 × 131072)
    floor (57223.5)     		tx = 57223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690662384033203 × 217)
    floor (0.690662384033203 × 131072)
    floor (90526.5)     		ty = 90526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57223 / 90526 ti = "17/57223/90526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57223/90526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57223 ÷ 217
    57223 ÷ 131072     		x = 0.436576843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90526 ÷ 217
    90526 ÷ 131072     		y = 0.690658569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436576843261719 × 2 - 1) × π
    -0.126846313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39849945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690658569335938 × 2 - 1) × π
    -0.381317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1979431215052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39849945} λ = -0.39849945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1979431215052))-π/2
    2×atan(0.301814369385082)-π/2
    2×0.293120521199503-π/2
    0.586241042399006-1.57079632675     		φ = -0.98455528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39849945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.832337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98455528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.410862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57223 KachelY 90526 -0.39849945 -0.98455528 -22.832337 -56.410862
    Oben rechts KachelX + 1 57224 KachelY 90526 -0.39845151 -0.98455528 -22.829590 -56.410862
    Unten links KachelX 57223 KachelY + 1 90527 -0.39849945 -0.98458180 -22.832337 -56.412382
    Unten rechts KachelX + 1 57224 KachelY + 1 90527 -0.39845151 -0.98458180 -22.829590 -56.412382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98455528--0.98458180) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dl = 168.958919999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98455528--0.98458180) × R
    2.65199999999188e-05 × 6371000     		dr = 168.958919999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39849945--0.39845151) × cos(-0.98455528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553233632528781 × 6371000     		do = 168.97179160788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39849945--0.39845151) × cos(-0.98458180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553211540481037 × 6371000     		du = 168.96504412785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98455528)-sin(-0.98458180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553233632528781-0.553211540481037)×R²
    abs(-0.39845151--0.39849945)×2.20920477443931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20920477443931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20920477443931e-05×40589641000000     		ar = 28548.7213986814m²