Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57223 / 90508
↖ ↑ ↗
← S 56.383502°
W 22.832337°		 ← 169.09 m → S 56.383502°
W 22.829590°		 →
↑
169.09 m
↓
↑
169.09 m
↓
S 56.385022°
W 22.832337°		 ← 169.09 m →
28 591 m²		 S 56.385022°
W 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436580657958984 y=0.690525054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436580657958984 × 217)
    floor (0.436580657958984 × 131072)
    floor (57223.5)     		tx = 57223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690525054931641 × 217)
    floor (0.690525054931641 × 131072)
    floor (90508.5)     		ty = 90508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57223 / 90508 ti = "17/57223/90508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57223/90508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57223 ÷ 217
    57223 ÷ 131072     		x = 0.436576843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90508 ÷ 217
    90508 ÷ 131072     		y = 0.690521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436576843261719 × 2 - 1) × π
    -0.126846313476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39849945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.38104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19708025731204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39849945} λ = -0.39849945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19708025731204))-π/2
    2×atan(0.302074906585352)-π/2
    2×0.293359289736585-π/2
    0.586718579473169-1.57079632675     		φ = -0.98407775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39849945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.832337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98407775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.383502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57223 KachelY 90508 -0.39849945 -0.98407775 -22.832337 -56.383502
    Oben rechts KachelX + 1 57224 KachelY 90508 -0.39845151 -0.98407775 -22.829590 -56.383502
    Unten links KachelX 57223 KachelY + 1 90509 -0.39849945 -0.98410429 -22.832337 -56.385022
    Unten rechts KachelX + 1 57224 KachelY + 1 90509 -0.39845151 -0.98410429 -22.829590 -56.385022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98407775--0.98410429) × R
    2.65400000000193e-05 × 6371000     		dl = 169.086340000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98407775--0.98410429) × R
    2.65400000000193e-05 × 6371000     		dr = 169.086340000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39849945--0.39845151) × cos(-0.98407775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553631364407413 × 6371000     		do = 169.093269161233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39849945--0.39845151) × cos(-0.98410429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.55360926271272 × 6371000     		du = 169.086518734776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98407775)-sin(-0.98410429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553631364407413-0.55360926271272)×R²
    abs(-0.39845151--0.39849945)×2.21016946930774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21016946930774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21016946930774e-05×40589641000000     		ar = 28590.7913003235m²