Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57222 / 90484
↖ ↑ ↗
← S 56.346990°
W 22.835083°		 ← 169.22 m → S 56.346990°
W 22.832337°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
S 56.348512°
W 22.835083°		 ← 169.21 m →
28 634 m²		 S 56.348512°
W 22.832337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436573028564453 y=0.690341949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436573028564453 × 217)
    floor (0.436573028564453 × 131072)
    floor (57222.5)     		tx = 57222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690341949462891 × 217)
    floor (0.690341949462891 × 131072)
    floor (90484.5)     		ty = 90484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57222 / 90484 ti = "17/57222/90484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57222/90484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57222 ÷ 217
    57222 ÷ 131072     		x = 0.436569213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90484 ÷ 217
    90484 ÷ 131072     		y = 0.690338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436569213867188 × 2 - 1) × π
    -0.126861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39854738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.38067626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19592977172116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39854738} λ = -0.39854738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19592977172116))-π/2
    2×atan(0.302422639405189)-π/2
    2×0.293677914779874-π/2
    0.587355829559748-1.57079632675     		φ = -0.98344050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39854738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.835083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98344050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.346990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57222 KachelY 90484 -0.39854738 -0.98344050 -22.835083 -56.346990
    Oben rechts KachelX + 1 57223 KachelY 90484 -0.39849945 -0.98344050 -22.832337 -56.346990
    Unten links KachelX 57222 KachelY + 1 90485 -0.39854738 -0.98346706 -22.835083 -56.348512
    Unten rechts KachelX + 1 57223 KachelY + 1 90485 -0.39849945 -0.98346706 -22.832337 -56.348512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98344050--0.98346706) × R
    2.65599999998978e-05 × 6371000     		dl = 169.213759999349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98344050--0.98346706) × R
    2.65599999998978e-05 × 6371000     		dr = 169.213759999349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39854738--0.39849945) × cos(-0.98344050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.554161929454183 × 6371000     		do = 169.22001172695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39854738--0.39849945) × cos(-0.98346706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.554139820478672 × 6371000     		du = 169.213260485306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98344050)-sin(-0.98346706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554161929454183-0.554139820478672)×R²
    abs(-0.39849945--0.39854738)×2.21089755108039e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21089755108039e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21089755108039e-05×40589641000000     		ar = 28633.7832515406m²