Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57221 / 90510
↖ ↑ ↗
← S 56.386542°
W 22.837830°		 ← 169.08 m → S 56.386542°
W 22.835083°		 →
↑
169.09 m
↓
↑
169.09 m
↓
S 56.388063°
W 22.837830°		 ← 169.07 m →
28 589 m²		 S 56.388063°
W 22.835083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436565399169922 y=0.690540313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436565399169922 × 217)
    floor (0.436565399169922 × 131072)
    floor (57221.5)     		tx = 57221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690540313720703 × 217)
    floor (0.690540313720703 × 131072)
    floor (90510.5)     		ty = 90510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57221 / 90510 ti = "17/57221/90510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57221/90510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57221 ÷ 217
    57221 ÷ 131072     		x = 0.436561584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90510 ÷ 217
    90510 ÷ 131072     		y = 0.690536499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436561584472656 × 2 - 1) × π
    -0.126876831054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39859532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690536499023438 × 2 - 1) × π
    -0.381072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19717613111128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39859532} λ = -0.39859532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19717613111128))-π/2
    2×atan(0.302045946904662)-π/2
    2×0.293332751424772-π/2
    0.586665502849544-1.57079632675     		φ = -0.98413082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39859532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.837830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98413082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.386542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57221 KachelY 90510 -0.39859532 -0.98413082 -22.837830 -56.386542
    Oben rechts KachelX + 1 57222 KachelY 90510 -0.39854738 -0.98413082 -22.835083 -56.386542
    Unten links KachelX 57221 KachelY + 1 90511 -0.39859532 -0.98415736 -22.837830 -56.388063
    Unten rechts KachelX + 1 57222 KachelY + 1 90511 -0.39854738 -0.98415736 -22.835083 -56.388063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98413082--0.98415736) × R
    2.65400000000193e-05 × 6371000     		dl = 169.086340000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98413082--0.98415736) × R
    2.65400000000193e-05 × 6371000     		dr = 169.086340000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39859532--0.39854738) × cos(-0.98413082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553587168955992 × 6371000     		do = 169.079770732778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39859532--0.39854738) × cos(-0.98415736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.553565066481568 × 6371000     		du = 169.073020068171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98413082)-sin(-0.98415736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553587168955992-0.553565066481568)×R²
    abs(-0.39854738--0.39859532)×2.21024744239129e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21024744239129e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21024744239129e-05×40589641000000     		ar = 28588.5088803416m²