Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57220 / 90522
↖ ↑ ↗
← S 56.404784°
W 22.840576°		 ← 169 m → S 56.404784°
W 22.837830°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
S 56.406304°
W 22.840576°		 ← 168.99 m →
28 564 m²		 S 56.406304°
W 22.837830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436557769775391 y=0.690631866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436557769775391 × 217)
    floor (0.436557769775391 × 131072)
    floor (57220.5)     		tx = 57220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690631866455078 × 217)
    floor (0.690631866455078 × 131072)
    floor (90522.5)     		ty = 90522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57220 / 90522 ti = "17/57220/90522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57220/90522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57220 ÷ 217
    57220 ÷ 131072     		x = 0.436553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90522 ÷ 217
    90522 ÷ 131072     		y = 0.690628051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690628051757812 × 2 - 1) × π
    -0.381256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19775137390672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39864326} λ = -0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19775137390672))-π/2
    2×atan(0.301872247114379)-π/2
    2×0.293173566045604-π/2
    0.586347132091209-1.57079632675     		φ = -0.98444919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98444919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.404784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57220 KachelY 90522 -0.39864326 -0.98444919 -22.840576 -56.404784
    Oben rechts KachelX + 1 57221 KachelY 90522 -0.39859532 -0.98444919 -22.837830 -56.404784
    Unten links KachelX 57220 KachelY + 1 90523 -0.39864326 -0.98447572 -22.840576 -56.406304
    Unten rechts KachelX + 1 57221 KachelY + 1 90523 -0.39859532 -0.98447572 -22.837830 -56.406304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98444919--0.98447572) × R
    2.65300000000801e-05 × 6371000     		dl = 169.02263000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98444919--0.98447572) × R
    2.65300000000801e-05 × 6371000     		dr = 169.02263000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39864326--0.39859532) × cos(-0.98444919) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553322005158329 × 6371000     		do = 168.998782883851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39864326--0.39859532) × cos(-0.98447572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553299906337383 × 6371000     		du = 168.992033335111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98444919)-sin(-0.98447572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553322005158329-0.553299906337383)×R²
    abs(-0.39859532--0.39864326)×2.20988209459483e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20988209459483e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20988209459483e-05×40589641000000     		ar = 28564.0483384179m²