Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57219 / 90547
↖ ↑ ↗
← S 56.442759°
W 22.843323°		 ← 168.79 m → S 56.442759°
W 22.840576°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
S 56.444277°
W 22.843323°		 ← 168.79 m →
28 487 m²		 S 56.444277°
W 22.840576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436550140380859 y=0.690822601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436550140380859 × 217)
    floor (0.436550140380859 × 131072)
    floor (57219.5)     		tx = 57219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690822601318359 × 217)
    floor (0.690822601318359 × 131072)
    floor (90547.5)     		ty = 90547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57219 / 90547 ti = "17/57219/90547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57219/90547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57219 ÷ 217
    57219 ÷ 131072     		x = 0.436546325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90547 ÷ 217
    90547 ÷ 131072     		y = 0.690818786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436546325683594 × 2 - 1) × π
    -0.126907348632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39869119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690818786621094 × 2 - 1) × π
    -0.381637573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.19894979639722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39869119} λ = -0.39869119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19894979639722))-π/2
    2×atan(0.301510693314554)-π/2
    2×0.292842174737192-π/2
    0.585684349474385-1.57079632675     		φ = -0.98511198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39869119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.843323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98511198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.442759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57219 KachelY 90547 -0.39869119 -0.98511198 -22.843323 -56.442759
    Oben rechts KachelX + 1 57220 KachelY 90547 -0.39864326 -0.98511198 -22.840576 -56.442759
    Unten links KachelX 57219 KachelY + 1 90548 -0.39869119 -0.98513847 -22.843323 -56.444277
    Unten rechts KachelX + 1 57220 KachelY + 1 90548 -0.39864326 -0.98513847 -22.840576 -56.444277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98511198--0.98513847) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98511198--0.98513847) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39869119--0.39864326) × cos(-0.98511198) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.552769801173626 × 6371000     		do = 168.794908608983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39869119--0.39864326) × cos(-0.98513847) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.552747725962161 × 6371000     		du = 168.788167677597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98511198)-sin(-0.98513847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552769801173626-0.552747725962161)×R²
    abs(-0.39864326--0.39869119)×2.20752114649114e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20752114649114e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20752114649114e-05×40589641000000     		ar = 28486.57486462m²