Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57218 / 90489
↖ ↑ ↗
← S 56.354600°
W 22.846069°		 ← 169.22 m → S 56.354600°
W 22.843323°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
S 56.356121°
W 22.846069°		 ← 169.21 m →
28 634 m²		 S 56.356121°
W 22.843323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436542510986328 y=0.690380096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436542510986328 × 217)
    floor (0.436542510986328 × 131072)
    floor (57218.5)     		tx = 57218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690380096435547 × 217)
    floor (0.690380096435547 × 131072)
    floor (90489.5)     		ty = 90489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57218 / 90489 ti = "17/57218/90489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57218/90489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57218 ÷ 217
    57218 ÷ 131072     		x = 0.436538696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90489 ÷ 217
    90489 ÷ 131072     		y = 0.690376281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436538696289062 × 2 - 1) × π
    -0.126922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39873913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690376281738281 × 2 - 1) × π
    -0.380752563476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.19616945621926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39873913} λ = -0.39873913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19616945621926))-π/2
    2×atan(0.302350162072842)-π/2
    2×0.293611509392502-π/2
    0.587223018785004-1.57079632675     		φ = -0.98357331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39873913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.846069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98357331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.354600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57218 KachelY 90489 -0.39873913 -0.98357331 -22.846069 -56.354600
    Oben rechts KachelX + 1 57219 KachelY 90489 -0.39869119 -0.98357331 -22.843323 -56.354600
    Unten links KachelX 57218 KachelY + 1 90490 -0.39873913 -0.98359987 -22.846069 -56.356121
    Unten rechts KachelX + 1 57219 KachelY + 1 90490 -0.39869119 -0.98359987 -22.843323 -56.356121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98357331--0.98359987) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dl = 169.213760000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98357331--0.98359987) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dr = 169.213760000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39873913--0.39869119) × cos(-0.98357331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554051372342871 × 6371000     		do = 169.221550395922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39873913--0.39869119) × cos(-0.98359987) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554029261412825 × 6371000     		du = 169.21479714875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98357331)-sin(-0.98359987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554051372342871-0.554029261412825)×R²
    abs(-0.39869119--0.39873913)×2.21109300463374e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21109300463374e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21109300463374e-05×40589641000000     		ar = 28634.0434461564m²